démo par récurrence

[invite2f187d17]

j'eprouve des difficultés pour démontrer par récurrence que Un est inferieur ou egale à Vn avec Uo=a et Vo=b et a compris entre 0 et b

Un+1=rac(UnVn)

Vn+1=Un/2+Vn/2

Voilà est-ce que quelqu'un peut m'aider s'il vous plait
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[invite8bc5b16d]

Salut,

tu devrais essayer d'élever l'inégalité au carré, puis de faire apparaître une "expression remarquable" du type a² - 2ab + b² par exemple, dont tu connais le signe (ici a et b n'ont pas de lien avec les valeurs de ton énoncé)

[invitefb3c0b3c]

En suivant cette piste, j'arrive à

0 < (V_n+1)²

or on suppose la propriété vraie au rang n, càd, 0 < U_n < V_n

dc U_n+1 < V_n+1 pour tout n.

Est-ce correct?

[invite8bc5b16d]

oula je ne comprends pas trop ton raisonnement pour conclure...

en fait tu supposes Un<Vn (dans toute la suite "<" veut dire inférieur ou égal)

Maintenant, montrons que U_n+1 < V_n+1

on remplace :

rac(UnVn) < Un/2 + Vn/2
2rac(UnVn) < Un+Vn

4 UnVn < (Un + Vn)²
4 UnVn < Un² + Vn² + 2UnVn
0 < (Un - Vn)²

ce qui est bien vrai...pour que ca soit plus joli, il vaut mieux partir de cette dernière ligne pour remonter après...

par contre c'est important de montrer que Un et Vn sont tous les deux positifs pour tout n, pour avoir le droit de prendre la racine carré, mais la démo est quasiment évidente par récurrence

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f187d17]

ok merci pour votre réponse , le vrai but de l'exercice étant de montrer que les suites Un et Vn sont adjacentes .Suis-je dans la bonne voie?

[invite2f187d17]

ok merci pour votre réponse , le vrai but de l'exercice étant de montrer que les suites Un et Vn sont adjacentes .Suis-je dans la bonne voie?

[invite8bc5b16d]

pour montrer que deux suites sont adjacentes, il est inutile de montrer que l'une est toujours inférieure à l'autre. Il suffit de montrer que l'une est croissante, l'autre décroissante et que leur différence tend vers zéro...

par contre, ce que tu as déjà montré va te servir ici à démontrer certains de ces points

[invite2f187d17]

la difficulté ici étant de montrer la monotonie de ces suites n'ayant pas d'expression littérale de Un et de Vn donc je suis un peu bloqué...

[invite2f187d17]

je ne peux donc pas calculer la différence Un+1-Un et Vn+1-Vn ,alors comment faire?

[invite8bc5b16d]

pour montrer la monotonie d'une suite définie par récurrence deux solutions : étudier Un+1 - Un, ou alors Un+1 / Un si Un est positif pour tout n

ici je te conseille la deuxième solution pour Un, et la première pour Vn

[invite2f187d17]

je n'arrive pas à trouver le signe de Un+1/Un...

[invite2f187d17]

pour la limite de la difference ai-je vraiment besoin de l'expression littérale de Un et Vn en fonction de n ?

[inviteaf1870ed]

je n'arrive pas à trouver le signe de Un+1/Un...

On veut voir si Un est croissante ou décroissante, ce n'est pas le signe qui est important, mais si le rapport est inférieur ou supérieur à 1.

Indice : tu te sers de la propriété que tu as démontrée, qui dit que Un<Vn...

[invite2f187d17]

ok et pour calculer lalimite de Vn-Un comment je fais?

[invite8bc5b16d]

pour la limite de la difference ai-je vraiment besoin de l'expression littérale de Un et Vn en fonction de n ?

non les expressions que tu as suffisent

[invite2f187d17]

je vois pas comment conclure...

[invite8bc5b16d]

essaye de majorer (Vn+1 - Un+1) / (Vn - Un), pour en déduire une majoration de Vn - Un en fonction de V₀-U₀ et de n

[invite2f187d17]

j'y arrive pas...

[inviteaf1870ed]

Puisque 0<Un<Vn, alors et donc
Ensuite ecris Un+1-Vn+1 et sers toi de l'inégalité ci dessus pour faire apparaitre Un-Vn