DM PCSI ~ suites, fonctions, intégration

[invite1dd5cc21]

Bonjour,
Je sollicite votre aide pour un DM de maths...

Le premier exercice est le suivant: on a une suite (un) definie comme étant l'intégrale entre 0 et 1 de la fonction f(x)=x^n/ √(1 + x)

J'ai montré que cette suite était décroissante, convergeait vers 0 et qu'elle était comprise entre √2/[2(n+1)] et 1/(n+1). On me demande de montrer que, pour tout n appartenant à N*,
u(n+1)+u(n)≤√2/n, afin d'en déduire la lim (n->+oo) de 2n*u(n)/√2. Je ne sais pas du tout comment faire!

Pour le second exercice, je bloque sur des limites. On a l'application fn definie pour tout x appartenant à R+*, telle que fn(x)=√x[ln(x)]^n. On nous demande de determiner la limite de fn en 0+, et les limites de fn(x)/x en 0+ et +oo.

Merci par avance pour votre aide!!
-----

[invite34b13e1b]

Bonsoir,
L'exercice 2 n'est qu'un exo de croissance comparée...
Dit peu rigoureusement (voir pas rigoureux du tout): x l'emporte sur le log

[invite1dd5cc21]

Je pensais ça aussi, mais en pratique, ce n'est pas du tout verifié. J'ai tracé les courbes pour n=2, n=3 et n=4, et je trouve des limites respectives bizarres!

[invite34b13e1b]

ca doit dépendre de n pair ou impair, je pense...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1dd5cc21]

en fait la 1ere limite est bien 0, mais comment le demontrer a partir des croissances comparées? et le reste?

[inviteaf1870ed]

Bonjour,
Je sollicite votre aide pour un DM de maths...

Le premier exercice est le suivant: on a une suite (un) definie comme étant l'intégrale entre 0 et 1 de la fonction f(x)=x^n/ √(1 + x)

J'ai montré que cette suite était décroissante, convergeait vers 0 et qu'elle était comprise entre √2/[2(n+1)] et 1/(n+1). On me demande de montrer que, pour tout n appartenant à N*,
u(n+1)+u(n)≤√2/n, afin d'en déduire la lim (n->+oo) de 2n*u(n)/√2. Je ne sais pas du tout comment faire!

Sers toi de la décroissance de Un : tu sais que 2Un+1<Un+1+Un, tu en déduis un encadrement pour Un+1