Bonsoir,
Je souhaiterais savoir comment démontrer ces propositions en utilisant les propriétés du barycentre concernant convexité:
1.L'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points du plan est convexe.
2.Un demi-plan fermé est convexe.
3.Toute combinaison convexe de n points de C (un convexe du plan) est encore un point de C.
Merci beaucoup!
Bonjour,
1) pour la 1, par définition il n'y rien à montrer...
2) Avec la définition de la convexité, et une équation du demi plan (avec une inégalité) ça ne devrait pas poser trop de problème ^^
3) Par récurrence sur n le nombre de points de C considéré, je pense.
Bonjour,
ça dépend de ta définition d'enveloppe convexe:Envoyé par Astryd
1) si l'enveloppe convexe d'une partie A est défini comme le plus petit convexe qui contient A, alors c'est immédiat!
2) si l'enveloppe convexe d'une partie est définie comme l'intersection de tous les convexes qui contiennent A, il suffit de montrer qu'une intersection quelconque de convexes est encore convexe.
En choisissant le bon repère, ton demi-plan est l'ensemble des points d'ordonnée positive. Facile de voir que si deux points P et Q ont des ordonnées positives, alors il en est de même pour tout point du segment [P,Q].2.Un demi-plan fermé est convexe.
ça peut se montrer par récurrence. Regarde ici: http://forums.futura-sciences.com/ma...-convexes.html3.Toute combinaison convexe de n points de C (un convexe du plan) est encore un point de C.
Merci beaucoup!
A+
Merci taladris et thepasboss, je vais me pencher là-dessus.
Sinon, existe-t-il une façon de montrer que l'enveloppe convexe d'un triangle ABC (Conv(ABC)) est incluse dans l'intersection des trois demis-plans P,P'et P'' tels que P délimité par (AB) et contient C, P' délim par 'AC) et contient B, P" délim par (BC) et contient A?
Un petite idée?
Salut!
Pour commencer, un triangle est convexe donc l'enveloppe convexe du triangle ABC, c'est lui-même. (Pour moi, un triangle inclut l'intérieur du triangle mais ça dépend, une fois encore, des définitions choisies).
Pour ta question, tu peux raisonner dans le repère (A,AB,AC) et tous les ensembles que tu considère auront des définitions simples.
Il y a d'autres méthodes mais cela dépend beaucoup des définitions et de tes connaissances en géométrie convexe.
Cordialement
Pour la proposition n°2, j'ai cherché mais je ne suis pas sûre de savoir comment manipuler l'inéquation du demi-plan...je suppose qu'il faut se placer dans un repère choisi et montrer que les coordonnées du barycentre de A et B vérifient l'inéquation...est-ce que je me trompe?
Up svp.....
Tout à fait, dans le cas du repère donné taladris l'équation des demi plans considéré se réduisent à des inéquations très très simples.
Ok! Une dernière précision: pour la proposition n°3, j'ai du mal à faire l'hérédité de la récurrence, malgré le lien donné par taladris.Pourriez-vous me dire comment procéder?
Euh et bien Il faut prendre les n+1 points pondérés par leur coefficients a1,...,a(n+1). Et ensuite tu combines les point a(n+1) et a(n) (je ne me rappelle plus exactement de la formule, mais il faut considérer l'ensemble des points a1,...,a(n-1),g(n) avec g(n) le barycentre des points a(n) et a(n+1), le dit point g(n) pondéré par un facteur judicieusement choisi pour que le barycentre des n points soit le mm que le barycentre de a1,...,a(n+1), et ensuite avec l'hérédité et en utilisant la convexité de l'ensemble pour dire que g(n) est dans l'ensemble convexe, c'est bon)
Je sais j'explique très mal désolé, j'espère que tu t'en sortira avec ça ><
