dérivées à deux variables ...

[invite4f86e0f9]

Bonjour ,

je n'ai pas trés bien compris le systéme de dérivées a deux variables .. est-ce quelqu'un me donner une méthode générale?
Voici l'exemple de mon prof : f(x,y)=sin(xy) . Il a dérivé selon x comme variable puis selon y , cela je l'ai compris .. on obtient donc :
- si y constante : ycosxy
- si x constante : xcosxy
A partir de la je n'ai rien saisi :
puis il rederive et obtenu : par rapport a x : -y^2 *sin xy et par rapport a y : -x^2sinxy
puis il écrit : d/dx(xcosxy)=cosxy-xysinxy
d/dy(ycosxy)=cosxy-xysinxy
il conclut : les dérivées ponctuelles croisées sont égales .
Merci d'avance :we:
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[Liao]

Bon je t'avais fait une longue réponse mais le site m'a tout effacé

Donc voici les points principaux :

La clé des dérivée partielle est la suivante :

Le temps du calcul de la dérivée, tu dois considérer comme constantes toutes les variables qui ne sont pas dérivées.

En clair, si tu pars de la fonction h(x,y)=ycosxy
Tu peux le temps du calcul remplacer y par n'importe quel nombre, ici on prendra 5 par exemple : dh/dx(x,5)=5cos(5x)

Et remplacer les 5 par des y à la fin. Ca c'est juste pour te montrer que y est considéré comme constante.
Après tu n'utiliseras pas une telle substitution mais tu peux penser comme cela de tête si ça peut t'aider.

Ici pour dériver 5cos(5x) suivant x on utilise la formule suivante:
(g o f)'=f'. g' o f

Je préfère la notation (g(f))'=f'.g'(f) qui est bien plus explicite

donc g(x)=5cos x et f(x)=5x

Le reste je te laisse faire

Bon courage !

[invite4f86e0f9]

Merci !!
Cette partie la je l'ai bien assimilée mais ce qui reste mon gros probléme c'est la seconde partie pourquoi le prof il a fait ça :
d/dx(xcosxy)=cosxy-xysinxy
d/dy(ycosxy)=cosxy-xysinxy

et que signifie les dérivées ponctuelles croisées?
Merci encore

[Romain-des-Bois]

Bonjour,


dans le cas d'une fonction d'une seule variable, on note la dérivée de en et la dérivée seconde.

dans le cas d'une fonction de deux variables, on a :
désigne la dérivée de par rapport à ( considéré comme constant),

désigne la dérivée de par rapport à ( considéré comme constant)...

Et si on veut dériver deux fois, on peut :
dériver par rapport à (considérer à nouveau comme constant)... on notera la dérivée ,

dériver par rapport à (considérer à nouveau comme constant)... on notera la dérivée ,

ou alors dériver par rapport à ou dériver par rapport à . On parle de dérivées croisées.


Dans ton cas, le prof a calculé les deux dérivées croisées et remarqué qu'elles étaient égales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4f86e0f9]

Merci . Ceci signifie donc qu'il a dérivé deux fois , et chaque fois en conservant x comme variable y comme constante (ou le contraire). Non?

[Liao]

Je ne suis pas sûr que tu aies bien compris.
Il y a 2 choses différentes dans ton énoncé :

Ca :

-y^2 *sin xy et par rapport a y : -x^2sinxy

C'est respectivement d²f/dy² et d²f/dx².Il a dérivé 2 fois successivement la même variable de f. C'est-à-dire qu'il a dérivé la dérivée en gardant la même variable de dérivation

on peut le comprendre comme cela: d²f/dy²=d(df/dy)/dy et d²f/dx²=d(df/dx)/dx.

La deuxième chose :

d/dx(xcosxy)=cosxy-xysinxy
d/dy(ycosxy)=cosxy-xysinxy

C'est respectivement d(df/dy)/dx et d(df/dx)/dy. Ici lors de la deuxième dérivation on ne dérive pas par rapport à la même variable.
La conclusion veut dire que si tu dérives f d'abord par x puis par y ou d'abord par y puis par x, ça revient au même...

C'est un propriété qui se vérifie pour certaines fonctions spéciales qu'on appelle de classe C² et qui ont d'autres propriétés également...

[invite4f86e0f9]

ok ! merci :d