Coniques et équation différentielle

[invite621a8f3c]

Bonjour,

J'aurai deux petites questions à vous poser:

Question 1: On considère dans le plan affine euclidien deux droite D1 et D2 sécantes en O, telles que l'angle (D1,D2)ait pour mesure 2théta. On désigne par E l'ensemble des points M du plan dont la somme des carrés des distances aux deux droites est égale à 1.
En choississant un repère orthonormal dont les axes soient bissectrices des dexu droites D1 et D2, montrer que E est une ellipse.

Pouvez vous m'indiquer comment procéder pour résoudre cette question ? La méthode à suivre... j'ai fais qqs dessins mais bon...


Question2: on considère l'équation différentiel:

xy' + (x - 1)y + y² = 0 (E)


Montrer que (E) possède une solution f et une seule, définie sur R, et telle que limite quand x tend vers 0 de f(x) est différent de 0.

J'ai déjà résolu cette équation diff, j'ai trouvé l'ensemble des solutions, le pb. Mais je ne vois pas comment faire pour trouver la solution unique avec la limite.


Merci d'avance pour votre aide.
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[invite621a8f3c]

Personne ?

[invitea3eb043e]

Si tu choisis les axes qu'on te dit, tu verras que D1 a pour équation y = x tg(théta) et D2 a pour équation ....
Dans ton cours, on a dû t'apprendre comment on calcule la distance d'un point de coordonnées [x,y] et d'une droite.
Pour le second exo, c'est quoi, ta solution ?

[invite621a8f3c]

Comment peut -on arriver à trouver que l'équation de l'une des deux droites est y = xtan(théta) ? C'est cela que je n'arrive pas à comprendre.

Si on fait un schéma, on constate que D1 par exemple fait un angle théta avec l'axe des abscisse, et que cette droite passe par l'origine (0,0), ces deux infos suffisent pour dire que l'équation est y = xtan(théta) ? Comment arrivé à ce résulat ?


Pour l'équation différentielle, mon ensemble de solution est:

y(x) = x/[A.exp(x)] avec A une cste réelle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621a8f3c]

je suis allé trop vite, j'ai simplement donné les solutions de l'équation homogène vérifée par u.

Je recommence:

Solutions de l'équation homogène (sans second membre) vérifiée par u:
[A.exp(x)]/x avec A une cste réelle.

Solution particulière de (E'): u(x) = -1/x (j'ai fais la variation de la constante pour trouver).

Ensemble des solutions vérifiée par (E'): -1/x + [A.exp(x)]/x

Soit u(x) = [A.exp(x) - 1]/ x

Donc l'ensemble des solutions de (E) sont:

y(x) = 1/u(x) y(x) = x/[A.exp(x) - 1]

Si on fait tendre x vers 0, on a une forme indéterminée, 0/0
J'utilise la règle de l'Hospital qui dit que la limite d'un quotient est égale à la limite de ses dérivées.

dans ce cas, on trouve que la limite en 0 vaut 1 quelque soit A (la cste). ??

Ai-je fais une erreur? on est censé trouver une et une seule fonction non ?

[invitea3eb043e]

dans ce cas, on trouve que la limite en 0 vaut 1 quelque soit A (la cste). ??

Sauf dans un cas ! On n'a en général pas une forme indétemrinée, justement.

[invitea3eb043e]

Comment peut -on arriver à trouver que l'équation de l'une des deux droites est y = xtan(théta) ? C'est cela que je n'arrive pas à comprendre.

Si on fait un schéma, on constate que D1 par exemple fait un angle théta avec l'axe des abscisse, et que cette droite passe par l'origine (0,0), ces deux infos suffisent pour dire que l'équation est y = xtan(théta) ? Comment arrivé à ce résulat ?

Tu vois bien que le point M, sa projection sur Ox et le point O forment un triangle rectangle d'angle théta.

[invite621a8f3c]

Oui effectivement, le cas qui convient c'est pour A différent de 1 non ?

[invite621a8f3c]

Tu vois bien que le point M, sa projection sur Ox et le point O forment un triangle rectangle d'angle théta.

Oui , je vois bien, en faisant un schéma, ok j'ai compris, merci beaucoup

[invitea3eb043e]

Oui effectivement, le cas qui convient c'est pour A différent de 1 non ?

C'est ça, on a une forme indéterminée quand A=1, limite facile à calculer d'ailleurs.