Convergence de somme de suites réelles.

[invite2561971e]

Bonsoir,
Je suis en maths sup, et je dois résoudre un exercice parmi une flopée pour mon dm de maths, et c'est pour l'instant sur celui-ci que je bute :
je dois étudier la convergence de u(n):



J'ai bien essayé de la majorer et de la majorer mais le théorème des gendarmes est ici inaplicable je pense, quelle méthode me suggérez vous ?

D'avance merci.
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[inviteaf1870ed]

En mettant 1/n en facteur on ne trouverait pas une somme de Riemann ?

[ichigo01]

Salut ,
Je connais pas la reponse mais c'est juste une idée : Tu peux par exemple essayer de trouver en decomposant la somme en deux et

[MMu]

Observe que :
Ensuite en utilisant l'indication d'ericc, tu trouves un encadrement avec des sommes de Riemann ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2561971e]

En fait il doit y avoir une solution sans passer par lesdites sommes de Riemann car nous ne les avons tout bonnement pas étudié en cours, je cherche dans la voie indiquée par ichigo mais je ne trouve que des encadrements inutilisables...

[MMu]

Ok, voyons sans Riemann . Des inégalités de mon précédent messages on déduit :

Je note donc et alors

Je te laisse montrer que et . As tu vu en cours le cas des suites bornées et monotones ?
Je te laisse montrer que est encadrée par deux suites convergeant vers la même limite , et conclure .

Quand tu étudieras les sommes de Riemann et les intégrales tu verras que converge vers ..

[invitec317278e]

On peut aussi procéder de manière à peu près identiques en partant de l'inégalité de cauchy schwarz.

[invite2561971e]

Selon ta méthode MMu, je démontre seulement que u(n) converge, tu sous-entends que selon l'état actuel de mes connaissances le calcul de cette limite m'est inaccessible ? En tout cas merci.

[invitec317278e]

Non, on peut quand même le faire, c'est juste que si tu connaissais les sommes de Riemann, tu aurais trouvé ça simple, alors que sans, ça peut paraitre plus compliqué.

Voici comment je fais, sans les sommes de Riemann :

et
On dit ensuite par exemple que

(car pour k-1>t>k, )
et on remarque que cette intégrale tend vers ln(2).

le procédé peut être refait avec l'autre côté, en majorant, cette fois, la somme de droite par la bonne intégrale.

[MMu]

Pour Thorin : Frenchi76 dit qu'il n'a pas étudié en cours les sommes de Riemann . A t-il pu étudier les intégrales ??!! ...

[invite2561971e]

Non en fait je n'ai pas compris le passage avec l'inégalité vers l'intégrale mais je vais demander à mon prof.