Histoire (Somme de Bernoulli)
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Histoire (Somme de Bernoulli)



  1. #1
    invite57e4f988

    Histoire (Somme de Bernoulli)


    ------

    Qui a découvert le premier l'expression des sommes suivantes :


    sum (k=1..n de k^a)

    qui vaut pour information : 1/(a+1) . n^(a-1) . (n+1) . (n+(a-1)/2)

    (pour a>=1 bien sûr!)

    -----

  2. #2
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    Je voulais rajouter a inclut dans Z* (pas seulement N)!

  3. #3
    invite4793db90

    Re : Histoire

    Salut,

    pour info... ta formule est fausse, désolé. (par exemple a=4, n=2)

    Sinon, c'est Jacques Bernoulli dans son Ars Conjectandi (1713) qui s'est le premier intéressé à ces sommes (et qui a résolu complètement le problème, à l'aide des nombres qui portent aujourd'hui son nom).

    Cordialement.

  4. #4
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    euh, exact! (avec k->a!!! k est la variable de la somme et l'erreur est d'1/5! en effet!)

    Bon, je vais relire ce bouquin alors!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    Qq1 pourrait me donner la formule exacte... celle ci n'est bonne que pour les entiers jusqu'à 3! (???)

  7. #6
    invite4793db90

    Re : Histoire

    Citation Envoyé par scientist
    Qq1 pourrait me donner la formule exacte... celle ci n'est bonne que pour les entiers jusqu'à 3! (???)
    Tu peux regarder ici (formules 37-41), mais ne t'attends pas à quelque chose de très simple...

    Cordialement.

  8. #7
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    Merci! C'est pas trop sorcier... à part les Bm, les nombres de bernouilli!
    J'y étais presque... (!?!)

  9. #8
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    Ah, j'ai trouvé :

    B(0) = 1

    Bk ' (x) = k*Bk - 1 (x)

    int_{0}^{1} Bk(x)dx = 0

    Ouais, ça se corse!
    ... J'ai l'impression de l'avoir déjà fait en cours! Je replonge.

  10. #9
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    (Les 5min de limitation, c'est ... lourd!)

    Je ne comprends pas l'expression (B+n+1) ^(p+1)!
    (B^p étant le p-ième nombre de bernoulli.)

    C'est quoi ce n+1 dans la parenthèse?

  11. #10
    invite4793db90

    Re : Histoire

    Citation Envoyé par scientist
    (Les 5min de limitation, c'est ... lourd!)

    Je ne comprends pas l'expression (B+n+1) ^(p+1)!
    (B^p étant le p-ième nombre de bernoulli.)

    C'est quoi ce n+1 dans la parenthèse?
    Salut,

    c'est juste une notation symbolique: je traduis ci-dessous:



    où les sont les coefficients binomiaux.

    Cordialement.

  12. #11
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    C'était dans la solution direct (sans somme ni intégrale...)!

    alors (B+n+1)^[p+1] ce serait pas plutôt B(p+1) ^(n+1)?
    (non, ça marche pas...)
    J'avoue que je ne comprends pas cette notation! Pourtant il parle de (B+n)^k mais ya pas d'explication!

    ce serait pas alors : B(p+1 +(n+1)^(p+1))?
    Tordu!

    Bon je laisse faire les experts!

  13. #12
    invite4793db90

    Re : Histoire

    C'est une notation usitée par analogie avec la formule de Newton (a+b)n=an+n an-1b+n(n-1)/2 an-2b²+...+bn

    Ainsi
    (B+n+1)[p+1]=Bp+nBp-1(n+1)+ n(n-1)/2 Bp-2(n+1)2+...+B0(n+1)p+1

    C'est un moyen mnémotechnique de se souvenir de la formule.

    En espérant avoir été assez clair.

  14. #13
    invite57e4f988

    Re : Histoire

    Ok, bien compris!
    Mais ça ne m'arrange pas, je ne voulais ni somme ni intégrale ...

  15. #14
    invite4793db90

    Re : Histoire

    Citation Envoyé par scientist
    Ok, bien compris!
    Mais ça ne m'arrange pas, je ne voulais ni somme ni intégrale ...
    Bon courage!

    Mais je ne pense pas que ce soit possible: si tu réussis, préviens-moi!

    Cordialement.

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