Histoire (Somme de Bernoulli)

[invite57e4f988]

Qui a découvert le premier l'expression des sommes suivantes :


sum (k=1..n de k^a)

qui vaut pour information : 1/(a+1) . n^(a-1) . (n+1) . (n+(a-1)/2)

(pour a>=1 bien sûr!)
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[invite57e4f988]

Je voulais rajouter a inclut dans Z* (pas seulement N)!

[martini_bird]

Salut,

pour info... ta formule est fausse, désolé. (par exemple a=4, n=2)

Sinon, c'est Jacques Bernoulli dans son Ars Conjectandi (1713) qui s'est le premier intéressé à ces sommes (et qui a résolu complètement le problème, à l'aide des nombres qui portent aujourd'hui son nom).

Cordialement.

[invite57e4f988]

euh, exact! (avec k->a!!! k est la variable de la somme et l'erreur est d'1/5! en effet!)

Bon, je vais relire ce bouquin alors!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57e4f988]

Qq1 pourrait me donner la formule exacte... celle ci n'est bonne que pour les entiers jusqu'à 3! (???)

[martini_bird]

Qq1 pourrait me donner la formule exacte... celle ci n'est bonne que pour les entiers jusqu'à 3! (???)

Tu peux regarder ici (formules 37-41), mais ne t'attends pas à quelque chose de très simple...

Cordialement.

[invite57e4f988]

Merci! C'est pas trop sorcier... à part les Bm, les nombres de bernouilli!
J'y étais presque... (!?!)

[invite57e4f988]

Ah, j'ai trouvé :

B(0) = 1

Bk ' (x) = k*Bk - 1 (x)

int_{0}^{1} Bk(x)dx = 0

Ouais, ça se corse!
... J'ai l'impression de l'avoir déjà fait en cours! Je replonge.

[invite57e4f988]

(Les 5min de limitation, c'est ... lourd!)

Je ne comprends pas l'expression (B+n+1) ^(p+1)!
(B^p étant le p-ième nombre de bernoulli.)

C'est quoi ce n+1 dans la parenthèse?

[martini_bird]

(Les 5min de limitation, c'est ... lourd!)

Je ne comprends pas l'expression (B+n+1) ^(p+1)!
(B^p étant le p-ième nombre de bernoulli.)

C'est quoi ce n+1 dans la parenthèse?

Salut,

c'est juste une notation symbolique: je traduis ci-dessous:



où les sont les coefficients binomiaux.

Cordialement.

[invite57e4f988]

C'était dans la solution direct (sans somme ni intégrale...)!

alors (B+n+1)^[p+1] ce serait pas plutôt B(p+1) ^(n+1)?
(non, ça marche pas...)
J'avoue que je ne comprends pas cette notation! Pourtant il parle de (B+n)^k mais ya pas d'explication!

ce serait pas alors : B(p+1 +(n+1)^(p+1))?
Tordu!

Bon je laisse faire les experts!

[martini_bird]

C'est une notation usitée par analogie avec la formule de Newton (a+b)ⁿ=aⁿ+n a^n-1b+n(n-1)/2 a^n-2b²+...+bⁿ

Ainsi
(B+n+1)^[p+1]=B_p+nB_p-1(n+1)+ n(n-1)/2 B_p-2(n+1)²+...+B₀(n+1)^p+1

C'est un moyen mnémotechnique de se souvenir de la formule.

En espérant avoir été assez clair.

[invite57e4f988]

Ok, bien compris!
Mais ça ne m'arrange pas, je ne voulais ni somme ni intégrale ...

[martini_bird]

Ok, bien compris!
Mais ça ne m'arrange pas, je ne voulais ni somme ni intégrale ...

Bon courage!

Mais je ne pense pas que ce soit possible: si tu réussis, préviens-moi!

Cordialement.