continuité uniforme sur [0,1]

[invitee33d974a]

salut

comment montrer qu'une fonction continue sur [0,1] y est uniformément continue ?!



merci
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[Sylvestre]

salut

comment montrer qu'une fonction continue sur [0,1] y est uniformément continue ?!

Salut,

Tout ceci est très loin pour moi, mais il me semble qu'une fonction continue sur un intervalle compact est automatiquement uniformément continue.

[invitee33d974a]

merci pour la réponse


d'ailleurs c'est ce qui me semble aussi, mais dans le doute, je cherche une démonstration à cela

[Sylvestre]

merci pour la réponse


d'ailleurs c'est ce qui me semble aussi, mais dans le doute, je cherche une démonstration à cela

Un indice : essaye d'utiliser les voisinages que donne la continuité autour de chaque point de l'intervalle et les deltas correspondants. Comme l'intervalle est compact, tu peux extraire de cet ensemble d'ouverts un sous-ensemble fini d'ouverts recouvrant [0,1] et donc les deltas "utiles" sont en nombres finis et donc c'est bon.
C'est juste une indication, car je suis trop fatigué ce soir pour faire plus propre que cela.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mx6]

Théorème de Heine.

Une fonction continue sur un segment, est alors uniformément continue.

[invite42d3ecec]

Raisonnement par l'absurde.

[invite7cf0b55f]

et en utilisant le fait que tout fonction continue sur [0,1] est bornée

[God's Breath]

comment montrer qu'une fonction continue sur [0,1] y est uniformément continue ?!

On écrit la définition de la continuité en :

On obtient un recouvrement de [0,1] par les ouverts .
On extrait un sous-recouvrement fini.
On doit pouvoir conclure.

[mx6]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...%A8me_de_Heine