continuité d'une fonction h = sup (f ,g) [ Urgent ]

[ichigo01]

Bonjour à tous
Je commence la partie de l'analyse consacré au fonctions et je me bloque sur un premier exercice qu'on avait compris on classe mais que je n'arrive pas à comprendre :

f et g sont des fonctions continues de D dans R , il faut montrer que la fonction définie par h(x) = sup (f(x), g(x)) est continue dans D .

je sais qu'une fonction définie sur un intervalle ssi elle est définie en tout points de D et f et continue au point ,
et c'est évident qu'il faut interpreter avec des cas , mais je sais qu'il faut pas dire par exemple : f(x) < g(x) alors notre prof à commence par : !!! j'ai essayé de trouver d'où ça sort mais j'y arrive pas !
vôtre me serais très utiles ! merci d'avance !
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[invite57a1e779]

prof à commence par : !!! j'ai essayé de trouver d'où ça sort mais j'y arrive pas !

Si , la fonction a une valeur strictement positive en , comme elle est continue, elle reste strictement positive au voisinage de .

[invitea3eb043e]

h(x) peut s'écrire [ (f + g) + |f-g| ]/2 donc tu peux te contenter de montrer que si F est une fonction continue, |F| est continue aussi, ce qui est assez simple.

[ichigo01]

Si , la fonction a une valeur strictement positive en , comme elle est continue, elle reste strictement positive au voisinage de .

d'accord mais je me demande à quoi ça va servir le signe si on a la valeur absolue

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

bon je pense que j'ai compris maintenant ( graçe à ta prestigieuse reponse "God's Breath" , le faite que g - f soit strictement positif au voisinage de celà implique que : f(x) < g(x)
alors est ce que je peut ajouter :

Merci infiniment !

[ichigo01]

h(x) peut s'écrire [ (f + g) + |f-g| ]/2 donc tu peux te contenter de montrer que si F est une fonction continue, |F| est continue aussi, ce qui est assez simple.

Oui mais encore là je pense que ça depent de ( f < g ou g < f ) et c'est ce qu'il faut démontrer d'abord nn ???

[invite57a1e779]

Non, tu ne peux pas ajouter : . On peut simplement montrer que, si , alors, sur un voisinage de , on a , donc , et obtenir la continuité de en .

On obtient de même la continuité de en un point pour lequel .

Il reste alors à établir la continuité de en un point pour lequel .

Le plus simple est bien évidemment d'utiliser l'argument de Jeanpaul : .
Mais la méthode par disjonction des cas est un bon exercice pour utiliser la définition de la continuité avec les epsilon.

[ichigo01]

D'accord c'est très clair maintenant et je vais essayer aussi avec la méthode de JeanPaul

Merci beaucoup !

[ichigo01]

La seule chose que je n'arrive toujours à ne pas comprendre c'est pourquoi on peut prendre directement par exemple pour le premier cas : f(x) < g(x) ?? !

Merci de votre aide !

[invitea3eb043e]

Parce que forcément une des fonctions est plus petite que l'autre (à moins qu'elles soient égales). Si ce n'est pas le cas, tu fais le même raisonnement en échangeant f et g.

[invite986312212]

la preuve de God's Breath suppose connu le fait que f,g continues entraîne f-g continue. Comme montrer ce fait est du même niveau de diffculté que la question posée, ce n'est pas très satisfaisant. Jean-Paul suppose connu le fait que f continue entraîne |f| continue, mais |f|=max(f,-f) et donc ce fait est un cas particulier du résultat à démontrer.
Allez, peut mieux faire

[ichigo01]

Parce que forcément une des fonctions est plus petite que l'autre (à moins qu'elles soient égales). Si ce n'est pas le cas, tu fais le même raisonnement en échangeant f et g.

ce que je veux dire c'est pourquoi on passe par et comme on sait que g-f est continue au voisinage de et alors qu'on peut en déduire que f(x) < g(x)

la preuve de God's Breath suppose connu le fait que f,g continues entraîne f-g continue. Comme montrer ce fait est du même niveau de diffculté que la question posée, ce n'est pas très satisfaisant. Jean-Paul suppose connu le fait que f continue entraîne |f| continue, mais |f|=max(f,-f) et donc ce fait est un cas particulier du résultat à démontrer.
Allez, peut mieux faire

oui la méthode de JeanPaul est meilleur! mais dans mon cas on sait déjà que f et g sont continue alors celle de God's Breath est aussi juste est en plus fait intervenir les notions de cours sur la continuitée