intégrales de vecteurs sur demi-sphère...

[mach3]

Bonjour,

je vous appelle à l'aide, car j'ai oublié comment on intégrait des vecteurs (bouh la honte )

le problème que j'essaie de résoudre c'est de savoir quel sera le vecteur moyen si je tire des vecteurs unitaires au hasard sur un demi-cercle ou une demi-sphère, donc je fais l'intégrale de mes vecteurs unitaire sur ceux-ci et je divise par l'angle ou l'angle solide. En gros si je tire n vecteurs d'orientation aléatoire, j'aurais en moyenne un vecteur qui pointe vers le "pole" et d'une certaine longueur.

Pour le demi-cercle j'ai trouvé, avec :



ce qui fait donc une longueur 2/ pour le vecteur moyen (on divise par l'angle du demi-cercle), ce qui m'est confirmé en faisant une intégration numérique dans excel.

Pour la demi-sphère, je trouve 1/2 pour longueur du vecteur moyen, ce qui me parait étrange, d'autant plus que je ne vois pas comment vérifier numériquement... du coup je doute sur l'intégrale double de mon vecteur...

avec , puis divisé par les steradians d'angle solide

quelqu'un peut-il me venir en aide?

merci d'avance

m@ch3
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[Armen92]

Bonjour,

je vous appelle à l'aide, car j'ai oublié comment on intégrait des vecteurs (bouh la honte )

le problème que j'essaie de résoudre c'est de savoir quel sera le vecteur moyen si je tire des vecteurs unitaires au hasard sur un demi-cercle ou une demi-sphère, ..........

m@ch3

Bonjour,
Ce problème ressemble à celui de l'aiguille de Buffon, qui débouche sur le paradoxe de Bertrand.
Le point est de bien définir ce que l'on appelle "tirer les angles au hasard". Si ce sont des va uniformes, leur densité est constante et convenablement normalisée à l'unité. Dès lors, votre méthode est correcte : on somme (intègre) sur les angles avec le bon élément de "volume" selon la dimensionnalité de l'espace.