Suite de fonctions

invite8d54258a · 11/12/2009, 16h49

Bonjour, dans un exercice, on a définit la suite $\text{[math]}$ par la relation :

$\text{[math]}$

J'ai prouvé que $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ la fonction d'Euler. Maintenant on définit $\text{[math]}$ et la suite $\text{[math]}$ par :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

i) On me demande de prouver que $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ .

ii) Puis on me demande d'étudier la série des fonctions dérivées et d'en déduire la limite de la suite $\text{[math]}$ .

Alors pour le i) j'ai dit que $\text{[math]}$ et est donc de classe $\text{[math]}$ comme composée de deux fonctions de classe $\text{[math]}$ .

Ensuite pour le ii), je crois qu'il existe un théorème qui permet d'affirmer que $\text{[math]}$ mais je n'arrive pas à vérifier les hypothèses

Un coup d'pouce ? Merci.

invite8d54258a · 12/12/2009, 21h33

Personne ?

invitebe08d051 · 12/12/2009, 21h37

Bonsoir

Pour la première question, ta réponse est correcte sauf que tu dois toujours signaler l'intervalle ou ta fonction est de classe $\text{[math]}$ , ( ici c'est $\text{[math]}$ bien sur )

Pour la deuxième, ce n'est qu'une propriété de la dérivation, la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées, aussi la série est bien une téléscopie.

Cordialement

invite8d54258a · 12/12/2009, 21h38

Oui, mais il faut pouvoir le justifier qu'il est possible de dériver sous le signe somme ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9a322bed · 12/12/2009, 21h58

Envoyé par Leonhardo

Oui, mais il faut pouvoir le justifier qu'il est possible de dériver sous le signe somme ...

Par linéarité de la somme ?

invite8d54258a · 12/12/2009, 22h10

Non ce n'est pas une somme finie!

invite57a1e779 · 12/12/2009, 22h15

Bonsoir,

Il suffit de vérifier que la série de terme général $\text{[math]}$ converge uniformément sur $\text{[math]}$ , ou au moins sur tout compact contenu dans $\text{[math]}$ .

invite8d54258a · 12/12/2009, 22h18

Justement, je crois que c'est faux sur $\text{[math]}$ tout entier. Du coup, je me demande quel est l'énoncé exact du théorème de dérivation sous le signe somme

invite57a1e779 · 12/12/2009, 22h28

Envoyé par Leonhardo

Justement, je crois que c'est faux sur $\text{[math]}$ tout entier.

On doit avoir la convergence la convergence uniforme sur les compacts, ce qui suffit pour dériver la série terme à terme.

invite8d54258a · 12/12/2009, 23h17

Voici ce que j'ai fais :

- On a $\text{[math]}$ et donc en particulier $\text{[math]}$ . Donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

- Puis, il faut calculer la dérivée! On a $\text{[math]}$ .

Mais $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ .

Après quoi je trouve $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Donc on se place désormais sur un compact $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Je trouve pour x dans un tel compact que $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

Mais $\text{[math]}$ . Cette dernière est le terme général d'une série à terme positive convergente. Donc il en est de même pour la série positive de terme général $\text{[math]}$ , et qui est indépendante de x!

Donc on va pour finir utiliser le critère de comparaison des séries à termes positifs, ce qui assure la convergence normale. Ouf! Qu'en pensez-vous ?

invite57a1e779 · 12/12/2009, 23h24

Envoyé par Leonhardo

$\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

C'est faux.

On a $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

invite8d54258a · 12/12/2009, 23h30

Oups! Comment faire alors ?

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