Une famille libre

[invite8d54258a]

Bonjour, j'ai avec et une suite de réels strictement positifs et tous distincts.
On me de prouver que la famille des est libre. Je ne vois pas comment faire. Help please!
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[Hamb]

il faut prouver que toute sous famille finie est libre, pour ca écris qu'une combinaison linéaire est nulle et utilise des arguments d'analyse pour conclure.

[invite8d54258a]

Oui, mais j'arrive à , soit et je ne vois pas comment m'y prendre pour avoir la nullité des scalaires

[mimo13]

Oui, mais j'arrive à , soit et je ne vois pas comment m'y prendre pour avoir la nullité des scalaires

Les ne sont pas des entiers alors il est préférable d'utiliser la forme exponentielle, factoriser pour laisser un seul indice puis utiliser les limites.

[A voir en vidéo sur Futura]

[cleanmen]

je me disais aussi que tu pourrais calculer le wronskien.
Il me semble que ca n'a l'air trop dur de montrer qu'il est non nul ^^

[invite769a1844]

Oui, mais j'arrive à , soit et je ne vois pas comment m'y prendre pour avoir la nullité des scalaires

Bonjour,

ta relation de dépendance s'applique pour tout .
Tu fais une récurrence sur (tu devrais noter tes scalaires autrement, vu que sont déjà réservés pour les puissances).
Tu obtiens la nullité des scalaires en regardant la relation pour une valeur de bien choisie.

[thepasboss]

Bonjour,

Personnellement je penserais à une récurrence sur k, en utilisant le théorème de Rolle.

[invite8d54258a]

Donc j'ai d'où . J'utilise quelle limite ensuite ?

Sinon pour la récurrence, est-ce bien cela : ?

[invite769a1844]

Donc j'ai d'où . J'utilise quelle limite ensuite ?

Je ne sais pas si c'était ce qui était attendu par passage à la forme exponentielle. Par définition tu as .

Sinon pour la récurrence, est-ce bien cela : ?

Oui mais c'est plutôt . On montre que toute sous-famille finie de à éléments est libre.

[mimo13]

Donc j'ai d'où . J'utilise quelle limite ensuite ?

Sinon pour la récurrence, est-ce bien cela : ?

On peut s'en passer de l'exponentielle après tout

On a bien

Donc

Soit

Par suite


Les exposants de sont tous positifs, on peut faire tendre .

D'où , après on réitère le procédé pour tous les autres éléments.

Ça mériterait bien une bonne rédaction.

[bubulle_01]

Ta rédaction est plutôt correcte mimo13.
Le tout c'est de justifier que l'on peut bien parler d'un minimum unique. (C'est très simple, car l'on suppose que l'on a des fonctions toutes distinctes donc à fortiori tous les exposants le sont aussi.)
Après, le fait qu'on ait une famille finie de fonctions permet je pense de couper court à la récurrence habituelle (elle est triviale).
C'est comme tout, je pense que sur une bonne copie ça passe tout seul, sur une moins bonne il faudrait prendre moins de risque et rédiger tout ...

[mimo13]

Ta rédaction est plutôt correcte mimo13.
Le tout c'est de justifier que l'on peut bien parler d'un minimum unique. (C'est très simple, car l'on suppose que l'on a des fonctions toutes distinctes donc à fortiori tous les exposants le sont aussi.)
Après, le fait qu'on ait une famille finie de fonctions permet je pense de couper court à la récurrence habituelle (elle est triviale).
C'est comme tout, je pense que sur une bonne copie ça passe tout seul, sur une moins bonne il faudrait prendre moins de risque et rédiger tout ...

Tout a fait d'accord.

Si je me trompe pas c'était la première question de l'épreuve Mines-Ponts de l'année dernière non ?

[Thorin]

un truc du genre, ouais

[invite8d54258a]

Merci pour l'aide.
Comment utiliser l'écriture pour arriver au résultat aussi ?

[mimo13]

Merci pour l'aide.
Comment utiliser l'écriture pour arriver au résultat aussi ?

J'ai pensé au début à la forme exponentielle pour pouvoir dériver parce les ne sont pas forcément des entiers, je ne sais pas si cette route vas aboutir mais je vais voir.