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Une famille libre



  1. #1
    Leonhardo

    Une famille libre


    ------

    Bonjour, j'ai avec et une suite de réels strictement positifs et tous distincts.
    On me de prouver que la famille des est libre. Je ne vois pas comment faire. Help please!

    -----

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  3. #2
    Hamb

    Re : Une famille libre

    il faut prouver que toute sous famille finie est libre, pour ca écris qu'une combinaison linéaire est nulle et utilise des arguments d'analyse pour conclure.

  4. #3
    Leonhardo

    Re : Une famille libre

    Oui, mais j'arrive à , soit et je ne vois pas comment m'y prendre pour avoir la nullité des scalaires

  5. #4
    mimo13

    Re : Une famille libre

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Oui, mais j'arrive à , soit et je ne vois pas comment m'y prendre pour avoir la nullité des scalaires
    Les ne sont pas des entiers alors il est préférable d'utiliser la forme exponentielle, factoriser pour laisser un seul indice puis utiliser les limites.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    cleanmen

    Re : Une famille libre

    je me disais aussi que tu pourrais calculer le wronskien.
    Il me semble que ca n'a l'air trop dur de montrer qu'il est non nul ^^

  8. #6
    rhomuald

    Re : Une famille libre

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Oui, mais j'arrive à , soit et je ne vois pas comment m'y prendre pour avoir la nullité des scalaires
    Bonjour,

    ta relation de dépendance s'applique pour tout .
    Tu fais une récurrence sur (tu devrais noter tes scalaires autrement, vu que sont déjà réservés pour les puissances).
    Tu obtiens la nullité des scalaires en regardant la relation pour une valeur de bien choisie.

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  10. #7
    thepasboss

    Re : Une famille libre

    Bonjour,

    Personnellement je penserais à une récurrence sur k, en utilisant le théorème de Rolle.

  11. #8
    Leonhardo

    Re : Une famille libre

    Donc j'ai d'où . J'utilise quelle limite ensuite ?

    Sinon pour la récurrence, est-ce bien cela : ?

  12. #9
    rhomuald

    Re : Une famille libre

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Donc j'ai d'où . J'utilise quelle limite ensuite ?
    Je ne sais pas si c'était ce qui était attendu par passage à la forme exponentielle. Par définition tu as .

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Sinon pour la récurrence, est-ce bien cela : ?
    Oui mais c'est plutôt . On montre que toute sous-famille finie de à éléments est libre.

  13. #10
    mimo13

    Re : Une famille libre

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Donc j'ai d'où . J'utilise quelle limite ensuite ?

    Sinon pour la récurrence, est-ce bien cela : ?
    On peut s'en passer de l'exponentielle après tout

    On a bien

    Donc

    Soit

    Par suite


    Les exposants de sont tous positifs, on peut faire tendre .

    D'où , après on réitère le procédé pour tous les autres éléments.

    Ça mériterait bien une bonne rédaction.

  14. #11
    bubulle_01

    Re : Une famille libre

    Ta rédaction est plutôt correcte mimo13.
    Le tout c'est de justifier que l'on peut bien parler d'un minimum unique. (C'est très simple, car l'on suppose que l'on a des fonctions toutes distinctes donc à fortiori tous les exposants le sont aussi.)
    Après, le fait qu'on ait une famille finie de fonctions permet je pense de couper court à la récurrence habituelle (elle est triviale).
    C'est comme tout, je pense que sur une bonne copie ça passe tout seul, sur une moins bonne il faudrait prendre moins de risque et rédiger tout ...

  15. #12
    mimo13

    Re : Une famille libre

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    Ta rédaction est plutôt correcte mimo13.
    Le tout c'est de justifier que l'on peut bien parler d'un minimum unique. (C'est très simple, car l'on suppose que l'on a des fonctions toutes distinctes donc à fortiori tous les exposants le sont aussi.)
    Après, le fait qu'on ait une famille finie de fonctions permet je pense de couper court à la récurrence habituelle (elle est triviale).
    C'est comme tout, je pense que sur une bonne copie ça passe tout seul, sur une moins bonne il faudrait prendre moins de risque et rédiger tout ...
    Tout a fait d'accord.

    Si je me trompe pas c'était la première question de l'épreuve Mines-Ponts de l'année dernière non ?

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  17. #13
    Thorin

    Re : Une famille libre

    un truc du genre, ouais
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  18. #14
    Leonhardo

    Re : Une famille libre

    Merci pour l'aide.
    Comment utiliser l'écriture pour arriver au résultat aussi ?

  19. #15
    mimo13

    Re : Une famille libre

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Merci pour l'aide.
    Comment utiliser l'écriture pour arriver au résultat aussi ?
    J'ai pensé au début à la forme exponentielle pour pouvoir dériver parce les ne sont pas forcément des entiers, je ne sais pas si cette route vas aboutir mais je vais voir.

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