Espace vectoriel sans vecteurs :S

[Médiat]

Ensuite, suppose que f4 est combinaison linéaire de f1 et f2 (pas f3 on vient de l'éliminer).

Au contraire, rien n'interdit de montrer que f₄ est combinaison linéaire de f₁, f₂ et f₃, surtout si c'est plus simple (ce qui est le cas ici), car cela suffit à démontrer que f₄ est combinaison linéaire de f₁ et f₂.
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[Bruno]

Pour qu'ils forment une base il faut aussi prouver qu'ils génèrent F.

C'est dans l'énoncé : "F est le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille des fonctions f1,f2,f3,f4".

[invite64e915d8]

Oki, je crois que j'ai compris comment démontrer que est une combinaison linéaire d'autres f.

Par contre, comment puis-je démontrer que ma famille libre génère F ?

Est-ce que je peux dire qu'elle est forcément génératrice puisque (f1, f2, f3, f4) était une famille génératrice de F avec n uplets donc si l'un d'eux s'écrit comme combinaison linéaire des autres, les autres forment aussi une famille génératrice ?

Si oui, y a-t-il un autre moyen plus rapide que d'exprimer un par un les uplets comme combi linéaires des autres ? Par exemple pour déterminer une base de 50 uplets

P.S.: Joyeux Noël !

[Médiat]

Est-ce que je peux dire qu'elle est forcément génératrice puisque (f1, f2, f3, f4) était une famille génératrice de F avec n uplets donc si l'un d'eux s'écrit comme combinaison linéaire des autres, les autres forment aussi une famille génératrice ?

Oui, cf. la réponse de God's Breath.
Ou dans l'autre sens : si f₄ s'exprime à l'aide d'une combinaison linéaire de (f₁, f₂, f₃) alors tout ce qui s'exprime avec (f₁, f₂, f₃, f₄), peut s'exprimer avec (f₁, f₂, f₃) (en remplaçant f₄ par son expression), donc cette famille est toujours génératrice.

[invite986312212]

il y a un théorème qui dit qu'une famille libre maximale est nécessairement une base.