Espace vectoriel sans vecteurs :S

[invite64e915d8]

Bonjour,

Je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour l'exo suivant :









E est un espace vectoriel sur R des applications de ]-1;1[ dans R et F est le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille des fonctions (,...,).

Je suis censé déterminer une base de F mais je suis totalement perdu sans mes vecteurs

Un ange gardien dans le coin ??
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[Médiat]

Je suis censé déterminer une base de F mais je suis totalement perdu sans mes vecteurs

Les vecteurs sont f₁, f₂, f₃, f₄ et toutes les IR-combinaisons linéaires de ces 4 vecteurs (générateurs de F).
Un IR-combinaison linéaire d'applications de ]-1; 1[ dans IR est bien une application de ]-1; 1[ dans IR.
La famille de vecteurs (f₁, f₂, f₃, f₄) est génératrice, est-elle indépendante ? Sinon ...

[mimo13]

Bonjour

La famille est génératrice du sous espace vectoriel . On est censé trouver une famille génératrice et libre à la fois, on peut utiliser le lemme de diminution .
Autrement dit, si l'un des vecteurs s'écrit sous forme de combinaisons linéaires des autres tu peux l'éliminer sans perdre le fait que la famille soit génératrice et tu répète le processus jusqu'à avoir une famille libre et donc base de .

A première vue, on peut directement trouver cette base, la parachuter même , mais il est important de connaitre la méthode pour d'autres cas plus complexe.

Grillé !!!

[invite64e915d8]

Vous voulez dire que si je trouve un qui s'écrit comme combinaison linéaire de deux autres applications f, alors la famille a au plus 3 dimensions ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Vous voulez dire que si je trouve un qui s'écrit comme combinaison linéaire de deux autres applications f, alors la famille a au plus 3 dimensions ?

Ta dernière phrase n'a pas de sens.
Si l'une des fonctions s'écrit comme combinaison linéaire des autres cela signifie qu'on peut l'éliminer de la famille génératrice et que ton sous espace vectoriel F sera de dimension 3 car engendré par 3 vecteurs linéairement indépendants.

[Bruno]

Je suis censé déterminer une base de F mais je suis totalement perdu sans mes vecteurs

Comme dit précédemment, tes vecteurs sont f1, f2, f3, f4. Un espace vectoriel sans vecteur cela n'existe pas car il doit toujours contenir au moins le vecteur nul pour l'addition vectorielle dans E. Note que les vecteurs d'un EV ça peut être n'importe quoi : des matrices, des n-uples, des applications, des polynômes, des complexes, etc...

Pour la base, il suffit de démontrer que f1, f2, f3, f4 forment une partie libre et une partie génératrice. Plus rigoureusement : une partie libre maximale et une partie génératrice minimale.

Si tu réfléchis un instant, cela ne peut être une base car l'EV est de dimension infinie (par exemple comment exprimer la fonction sin à l'aide des ces 4 fonctions ?).

[mimo13]

Si tu réfléchis un instant, cela ne peut être une base car l'EV est de dimension infinie (par exemple comment exprimer la fonction sin à l'aide des ces 4 fonctions ?).

Attention !! Il veut déterminer une base du sous espace vectoriel engendré par ces 4 fonctions et non une base de .

[Bruno]

Attention !! Il veut déterminer une base du sous espace vectoriel engendré par ces 4 fonctions et non une base de .

Oups, oubliez donc cette dernière phrase.

Pour la partie génératrice de F c'est trivial si on connait la définition. Pour la partie libre, il faut donc démontrer l'implication suivante :

où est la fonction nulle

Indice : utiliser la définition de l'égalité de deux fonctions

[invite64e915d8]

Mais dans le cas où il ne s'agirait pas d'une famille libre, y a-t-il un moyen de déterminer una base de F à l'aide de matrices ?

[Médiat]

Mais dans le cas où il ne s'agirait pas d'une famille libre, y a-t-il un moyen de déterminer una base de F à l'aide de matrices ?

Ce n'est pas une famille libre (à quoi est égal f₁ - f₂ ? Et ce n'est pas la seule relation, avez-vous vu la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples ?)

Comment s'écrit une matrice quand on ne dispose pas (encore) d'une base ?

[invite64e915d8]

C'est à dire qu'en général on me donnait plusieurs vecteurs et on me demandait de déterminer si la famille de ces vecteurs était libre ou pas ? si oui, en déterminer une base, etc... mais grâce à ses vecteurs je pouvais faire une matrice puis essayer de l'ordonner ensuite.

Avec des fonctions je suis un peu pommé

Je ne comprends pas la méthode pour voir clairement si la famille des f1,...,f4 est libre ou pas sans comparer chaque f aux trois autres...

[Médiat]

C'est à dire qu'en général on me donnait plusieurs vecteurs

C'est bien le cas, vous avez 4 vecteurs.

et on me demandait de déterminer si la famille de ces vecteurs était libre ou pas ?

C'est bien la question qui est posée.

si oui, en déterminer une base, etc... mais grâce à ses vecteurs je pouvais faire une matrice puis essayer de l'ordonner ensuite.

Cela ne peut marcher que si l'on dispose déjà d'une base.

Avec des fonctions je suis un peu pommé

Pas de problème, le cidre c'est très bon (désolé )

Je ne comprends pas la méthode pour voir clairement si la famille des f1,...,f4 est libre ou pas sans comparer chaque f aux trois autres...

Je repose ma question : avez-vous vu la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples ?

[invité576543]

Est-ce que texanito maîtrise l'idée que l'ensemble des fonctions polynômiales est un espace vectoriel, ainsi que la base la plus naturelle de cet espace?

Ou encore, si on demande de trouver une base de l'espace engendré par les polynômes X-2, X+2, 7 et X+12, est-ce que la réponse est évidente?

Cordialement,

[invite64e915d8]

Euh non Michel, ca ne me paraît pas évident Et je ne crois pas avoir vu la décomposition d'une fraction rationnelle en élément simple... c'est un niveau L1 physique ?

[invité576543]

Euh non Michel, ca ne me paraît pas évident

Alors c'est cela qu'il faut que tu travailles d'abord. Si tu ne sais pas répondre à ma question sur les polynômes, tu ne pourras pas résoudre l'exercice (qui est la même chose, avec une petite complication).

Cordialement,

[invite64e915d8]

Je ne comprend pas comment on peut associer des polynômes a des vecteurs

[invité576543]

¿ Que comprends-tu dans la première phrase de ton énoncé:

E est un espace vectoriel sur R des applications de ]-1;1[ dans R

Cdlt,

[Médiat]

Je ne comprend pas comment on peut associer des polynômes a des vecteurs

Je crois que vous confondez "vecteur" et "représentation d'un vecteur dans une base", et du coup, pour vous un vecteur c'est un truc du genre (x₁, x₂, x₃). C'est vrai si l'espace vectoriel est IR³, mais pour un autre espace vectoriel sur IR de dimension 3, cette écriture (x₁, x₂, x₃) n'est que la représentation d'un vecteur dans une base paticulière donc à préciser !

Pour les polynomes de degré maximum donné (c'est plus simple), ou les fonctions de ]-1 ; 1[ dans IR, pour se convaincre (et démontrer) qu'il s'agit bien d'un espace vectoriel, il suffit de vérifier que ces ensembles vérifient bien les axiomes des espaces vectoriels, ensuite on peut se poser la question de trouver une base, et alors, alors seulement, on pourra représenter un polynome sous la forme (x₁, x₂, x₃), à condition de bien préciser la base.

[Bruno]

Je crois que vous confondez "vecteur" et "représentation d'un vecteur dans une base", et du coup, pour vous un vecteur c'est un truc du genre (x₁, x₂, x₃). C'est vrai si l'espace vectoriel est IR³, mais pour un autre espace vectoriel sur IR de dimension 3, cette écriture (x₁, x₂, x₃) n'est que la représentation d'un vecteur dans une base paticulière donc à préciser !

Tu ne serais pas en train de confondre le triple (x₁, x₂, x₃) avec la matrice de composantes (x₁, x₂, x₃) qui s'écrit en colonne ? De plus, un vecteur d'un EV n'a pas besoin de base pour être exprimé... Texanito n'a jamais dit que E était muni d'une base !

Euh non Michel, ca ne me paraît pas évident Et je ne crois pas avoir vu la décomposition d'une fraction rationnelle en élément simple... c'est un niveau L1 physique ?

Si tu as vu les intégrales tu as normalement vu comment décomposer une fraction rationnelle en A/(x+a) + B/(x+b) + ...

C'est à dire qu'en général on me donnait plusieurs vecteurs et on me demandait de déterminer si la famille de ces vecteurs était libre ou pas ? si oui, en déterminer une base, etc... mais grâce à ses vecteurs je pouvais faire une matrice puis essayer de l'ordonner ensuite.

Si ton EV n'est pas muni explicitement d'une base tu ne peux pas en inventer une comme ça Ici il n'est pas question de base dans l'énoncé, il est donc hors de question d'écrire des matrices.

Je ne comprends pas la méthode pour voir clairement si la famille des f1,...,f4 est libre ou pas sans comparer chaque f aux trois autres...

Je t'ai donné la définition d'une famille libre :

où est la fonction nulle

Or :

(déf de l'égalité de deux fonctions)

(déf de l'addition vectorielle dans l'ensemble des fonctions de ]-1,1[ dans |R)

(déf de la multiplication par un scalaire dans )


(déf des fonctions et de la fonction nulle)

Or cette dernière égalité doit être vrai pour tout x, donc en particulier vrai pour des valeurs arbitraires de x :

x=1 :
x=-1 :
x=-5 :
x=2 :

La solution de ce système est la solution triviale et comme la solution générale est incluse dans cette solution particulière, on a : .

Conclusion : est donc bien une famille libre et comme c'est aussi une famille génératrice de F alors c'est une base.

[Médiat]

Tu ne serais pas en train de confondre le triple (x₁, x₂, x₃) avec la matrice de composantes (x₁, x₂, x₃) qui s'écrit en colonne ?

Non, je ne confonds pas, vous m'avez mal lu ou mal compris.

De plus, un vecteur d'un EV n'a pas besoin de base pour être exprimé...

Je n'ai jamais écrit cela, une fois de plus vous m'avez mal lu ou mal compris

Texanito n'a jamais dit que E était muni d'une base !

Non, mais il recherche une base de F.

D'un point de vue général, c'est une assez mauvaise idée de résoudre un exercice complètement, ce qui est guère formateur pour le posteur initial, mais le résoudre de façon incorrecte cela peut même lui nuire, et je ne fais pas seulement allusion au fait que remplacer x par 1 pour des fonctions définies sur ]-1 ; 1[, est une idée à manipouler avec des pincettes :
La famille (f₁, f₂, f₃, f₄) n'est pas libre, j'ai d'ailleurs donné des indications à texanito pour qu'il s'en rende compte facilement.

[Bruno]

Non, je ne confonds pas, vous m'avez mal lu ou mal compris.

Je n'ai jamais écrit cela, une fois de plus vous m'avez mal lu ou mal compris

Non, mais il recherche une base de F.

D'accord, au temps pour moi !

D'un point de vue général, c'est une assez mauvaise idée de résoudre un exercice complètement, ce qui est guère formateur pour le posteur initial, mais le résoudre de façon incorrecte cela peut même lui nuire, et je ne fais pas seulement allusion au fait que remplacer x par 1 pour des fonctions définies sur ]-1 ; 1[, est une idée à manipouler avec des pincettes :

Je me disais bien que j'avais oublié un détail Mais bon, il suffit de remplacer le pour tout x dans " ]-1 ; 1[" et de retaper les bonnes valeurs, la résolution donne tout de suite une indication de la bonne combili. Enfin, je doute qu'il (comme tout étudiant de L1) ait été capable de pondre une telle méthode de lui-même...

La famille (f₁, f₂, f₃, f₄) n'est pas libre, j'ai d'ailleurs donné des indications à texanito pour qu'il s'en rende compte facilement.

Bof, ce n'est pas très rigoureux car elles sous-entendent des propriétés d'EV qu'il serait bon d'utiliser explicitement. Sinon ça s'apparente un peu à du bidouillage...

[Bruno]

x=1 ...

On écrit de ces conneries des fois La faute au réveil...

[invite64e915d8]

Ah oui !! effectivement j'ai bien vu en cours la décomposition de fractions rationnelles en éléments simples mais je la connaissais comme simple division euclidienne de polynômes

Effectivement sur l'énoncé, il est écrit entre parenthèses de pense à la décompo. Par contre je ne vois pas en quoi ca m'est utile

Suis-je censé trouver une combinaison linéaires de n vecteurs comme base de F ?

[Médiat]

Par contre je ne vois pas en quoi ca m'est utile

Commencez par décomposer en éléments simples les fonctions qui peuvent l'être.

[Bruno]

Effectivement sur l'énoncé, il est écrit entre parenthèses de pense à la décompo. Par contre je ne vois pas en quoi ca m'est utile

Si tu arrives à décomposer un de telle sorte que ça corresponde à une combili de alors ce n'est plus une partie libre puisqu'un vecteur est combili des autres. Tu peux donc te débarrasser de ton et recommencer l'opération avec les vecteurs restants.

Suis-je censé trouver une combinaison linéaires de n vecteurs comme base de F ?

Ça ne veut rien dire... un rappel s'impose

- P est une partie génératrice de V ssi tout vecteur de V s'exprime comme combili des vecteurs de P

- P est une partie libre ssi aucun vecteur de P n'est combili des autres vecteurs de P

- une base B de V est une partie libre et une partie génératrice de V

Ce qui t'es demandé c'est si la partie génératrice de F est également une partie libre.

[invité576543]

Commencez par décomposer en éléments simples les fonctions qui peuvent l'être.

Ne serait-ce pas plus simple, vu le niveau, de tout mettre au même dénominateur?

Cordialement,

[invite64e915d8]

Comme ca :









??

Avec les je trouve que l'égalité n'équivaut pas à ce que les soient égaux à 0 et donc que les 4 f ne sont pas une base de F mais comment déterminer une base de F à présent ?

[God's Breath]

On utilise le théorème de la base incomplète. La famille réduite à est libre car .
On essaie de compléter : la famille est-elle libre ?
– si oui, on essaie , puis...
– si non, on essaie , puis...

[Bruno]

Comme ca :









??

Oui! Ou encore plus explicitement :









Et là certaines combilis doivent te sauter aux yeux, sinon essaye par exemple de faire (f1 - f2)

Avec les je trouve que l'égalité n'équivaut pas à ce que les soient égaux à 0 et donc que les 4 f ne sont pas une base de F mais comment déterminer une base de F à présent ?

Une partie génératrice peut être diminuée en une base en virant les vecteurs combilis des autres.

Sur ce Joyeux Noël

[sylvainc2]

As-tu remarqué que f3 = f1 - f2? C'est facile de voir ca au pif. Donc f3 est lié à f1 et f2 et ne peut pas être dans une base.

Ensuite, suppose que f4 est combinaison linéaire de f1 et f2 (pas f3 on vient de l'éliminer). Donc il existerait a,b réels tels que f4 = a f1 + b f2. Si tu peux résoudre ca, c'est que f4 est aussi lié à f1 et f2 et ne peut pas être dans une base. Il reste seulement f1 et f2. Pour qu'ils forment une base il faut aussi prouver qu'ils génèrent F.