Fonction identité et composition

[invitee43ff1c2]

bonjour à tous

Soit f qui appartient à l'ensemble des fonctions F de R dans R et n appartient N* on note f^{o n}=f o f o f .......o f donc n facteurs de f

pn dit qu'une partie A de R est symétrique par rapport à 0 si x appartien à A et -x appartient à A

on cherche les fonctions f de R dans R monotones telles qu'iles existent n apartient à N* vérifiant f^{o n}=Id_R

1:soit f appartient à F de R dans R coirssante et n appartient à N* tels que f^{o n}=Id_R

a) soit x appartient R tq x<=f( x) montrer que quelque soit k apprtienà n* f^{o k}( x)<=f^{o (k+1)}

en déduire f(x)=x

montrer que f=Id_R



je suis totalement perdu

quelqu'un pourrait m'aider

merci d'avance
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[invite57a1e779]

Il suffit de faire une récurrence sur k en utilisant la croissance de f.

[invitee43ff1c2]

donc on a bien f(x)<=f(x+1) non ?

mais comment commencer la récurrence ?

[invite57a1e779]

La relation f^{o k}(x)<=f^{o (k+1)}(x) est vraie pour k=0.
On la suppose pour un entier k, et on la démontre pour l'entier k+1 en utilisant la croissance de f.

[A voir en vidéo sur Futura]