résolution d'intégrale impropre

[invite34279f95]

Bonjour à tous !

Je prépare actuellement un DS et je fait donc des exercices ( normal )
mais voilà que je bloque sur une intégrale impropre.
Voici l'objet de mes sarcasmes :


I1 = (intégrale [ 0 ; +OO] de : ) ln(x)/(1+x)^3

Je ne voit pas comment montré que l'intégrale éxiste.
En zero ln n'est pas définit donc je ne voit pas comment faire surtout que je ne peut pas utilisé de dévellopement limité.
En l'infini la limite est 0 et je voit pas trop comment prouvé que cette borne n'est plus a risque.


Si vous aviez une idée se serait sympa d'en faire part
Par contre essayé de ne pas me donné la réponse ^^ Je m'entraine donc si vous me donner la réponse je ne voit pas l'interet ^^ juste quelque piste.

Merci d'avance et Bonne année a tous !
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[invite899aa2b3]

Salut.
Près de la fonction est de signe constant. Elle se comporte comme . À toi de voir si converge ou non.
Pour le problème en l'infini que sais-tu sur les intégrales de Riemann (celle des fonctions puissance)?

[invite34279f95]

Salut girdav,

Est-ce que j'ai le droit de dire que mon intégral est équivalente a l'integrale de ln(x) sur [0;1] ? si oui pourquoi ?

Sur les intégrale de Rieman Je connais 1/t^a mais je ne voit pas comment je pourrait m'en servir puisqu'il y a ln(x) au numérateur et non 1.

[invite899aa2b3]

Tu veux dire le morceau de l'intégrale totale sur ?
Je dirais plutôt que converge si et seulement si converge.
En fait en général on parle de fonctions équivalentes en un point, mais ici on n'a pas affaire à des fonctions mais plutôt à des nombres, car ne dépend d'aucune variable.

Concernant le problème en , on peut remarquer par exemple que donc on voit que le logarithme ne va pas peser très lourd.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34279f95]

Je dirais plutôt que converge si et seulement si converge.

Comment arrive tu a cette conclusion ? tu décompose l'intégrale en deux partie ? Tu montre que 1/(1+t)^3 est ne pose pas de problème en 0 ? Je fais des supposition mais je ne sais pas ^^

En +OO j'ai fait la limite et je trouve 0 ça c'est ok. Mais le prof nous a dis que ça ne suffisait pas pour prouver l'éxistence de l'intégrale. Le problème c'est que je ne voit pas comment le montré autrement ( il m'a expliquez m'ai j'ai pas compris et comme c'etais le matin a 7H il faut avoué que j'ai pas vraiment retenu ^^.

[invite899aa2b3]

Oui, en fait pour le problème en je dis que donc et comme les fonctions sont de signe constant au voisinage de on peut conclure ce que j'ai dit précédemment.

Si tu connais les intégrales du genre , alors tu vois que par exemple pour l'intégrale diverge alors que la fonction à intégrer tend bien vers en .
Mais en revanche tu sais qu'elles convergent si .
Ici, tu doit trouver tel que .

[invite34279f95]

Oui, en fait pour le problème en je dis que donc et comme les fonctions sont de signe constant au voisinage de on peut conclure ce que j'ai dit précédemment.

Ah ouais c'est pas bête du tous ça ! c'est surtous tres bien vu !
Et en plus je suppose que je peut l'appliquer a plein d'intégral et pas seulement a celle la ! Merci ! Le jour du DS ça peut servir !

Si tu connais les intégrales du genre , alors tu vois que par exemple pour l'intégrale diverge alors que la fonction à intégrer tend bien vers en .
Mais en revanche tu sais qu'elles convergent si .
Ici, tu doit trouver tel que .

Donc la en gros, je dis que en +OO ma fonction est équivalente a 1/t^3 et donc que l'intégrale existe celon riemann ?
Pour dire que c'est équivalent il faut que je dise quoi ?
Que en croissance comparé ln(x) est << à (1+t)^3 et que en +OO (1+t)^3 est équivalent a t^3 ?

Et donc une fois que j'ai fait ça je peut conclure que mon intégral existe et je peut faire mon calcul D'IPP ?

[invite899aa2b3]

On dit que et sont équivalentes en s'il existe une fonction telle que et .
Si ne s'annule pas au voisinage de , cela revient à dire que .
Mais ici, ce n'est pas le cas des fonctions que tu considères. On n'a pas l'équivalent que tu proposes.
On peut aussi simplement procéder par majoration, puisque les fonctions en question sont positives. On a par exemple ce qui est suffisant pour conclure.

[invite34279f95]

Je ne voit pas pourquoi dire que ln(x)<t+1 nous permet de conclure.

[invite899aa2b3]

À ce moment là par quoi peux-tu majorer ?

[invite34279f95]

C'est le résonnement que je comprends pas. pourquoi est-ce que ça permet de conclure ? il y a une regle que j'ai zappée ?

[breukin]

Mais enfin, pour t suffisament grand, d'une part ln t < t et d'autre part (1+t)³ > t³.
Donc la fonction (positive) à intégrer est < t^–2 ce qui permet de conclure !
Dans ces problèmes, il s'agit souvent simplement de savoir majorer par des fonctions simples, sans même se préoccuper d'équivalences.

[invite34279f95]

Merci de l'explication. je peut aller un peu plus serein a l'interro maintenant.

[invite34279f95]

En cours on nous a dis de retenir que ln(x)<1/sqrt(x) sur ]0;1[ pour résoudre l'intégrale de ln(x) sur 0;1 .
Mais je voit pas en quoi ça peut nous aider puisque 1/sqrt(x) n'est pas défini en 0.
Et puis j'ai pas compris pourquoi tu a dis que ln(t) converge.

[invite899aa2b3]

Je ne l'ai pas dit mais j'ai essayé de te le faire établir.
Tu peux calculer en intégrant par parties pour puis faire tendre vers .
En fait c'est le deuxième type de généralisation de l'intégrale: soit on généralise sur un intervalle non borné, soit sur un intervalle qui n'est pas fermé, dont la fonction admet une limite infinie en une borne (voire les deux, mais ce n'est pas le cas ici).
Je suppose que ça doit être dans le cours.