Opérations sur les sous espaces vectoriels

[invitebf682c26]

Bonjours, voici mon exercice :

E est un Kespace vectoriel et F,G,H trois sous espaces vectoriels de E.
1) a) Montrer que F+(G inter H) < (F+G) inter (F+H)
b) Montrer que l'inclusion peut être stricte
c) Montrer que si F inclus G alors il y a égalité

2) a) Montrer que (F inter G)+(F inter H) < F inter (G+h)
b) Montrer que l'inclusion peut être stricte
c) Montrer que si G inclus F alors il y a égalité
J'ai utiliser "<" pour marquer l'inclusion

Pour les question 1a et 2a je n'ai pas eut de souci.
En revanche pour les exemples je ne vois pas du tout comment les prendre je ne sais pas trop à quoi peut ressembler un espace vectoriel, je n'ai encore travaillé que l'aspect théorique.

enfin pour la question 2c je bloque voici mon début:
On suppose G inclus F
Soit x appartenant à F inter (G+H)
Je souhaite donc montrer que x appartient à (F inter G)+(F inter H)

j'écris donc que
-x appartient à F
- et x appartient à (G+H) c'est à dire qu'il existe un couple (y,z) tel que y appartient à G, z appartient à H et x=y+z

Que faire ensuite ?

PS : j'espère que c'est assez clair je ne sait pas comment écrire les symboles mathématiques sur internet ...
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[KerLannais]

Salut,

Tu as y dans G et par hypothèse G est inclus dans F. Tu as donc y dans . Ensuite, puisque z=x-y et que x et y sont des éléments de F qui est un sous-espace vectoriel (et donc stable par combinaison linéaire), tu as z dans F et tu savais qu'il était dans H. z est donc dans et c'est fini puisqu x=y+z et et .

[invitebf682c26]

exact je n'avais pas vu merci beaucoup !

Et en ce qui concerne les exemples d'inclusion stricte que dois je chercher ? à quoi ressemble un ensemble géometrique ?

[Médiat]

Et en ce qui concerne les exemples d'inclusion stricte que dois je chercher ?

Un exemple tout bête : on se débrouille pour que et pour que (non régularité de ).

Par exemple

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf682c26]

Je n'ai pas bien compris
Déjà les ensemble que tu as donné sont ils bien des points ?
Si oui dans ce cas avec les F G et H que tu as donné on a

F + (G inter H) = (1,0) + (0,0) = (1,0)

et (F+G) inter (F+H) = (1,1) inter (2,1) = (0,0)

mais (1,0) n'est pas inclus dans (0,0) où je me suis trompé ?

[Médiat]

Déjà les ensemble que tu as donné sont ils bien des points ?

Non, <(0, 1)> désigne le sous-espace vectoriel (de IR², ici) dont la base est (0, 1).

[invitebf682c26]

Je vois, merci beaucoup de votre aide à tous les deux !