Changement de base (L1 éco)

[Jon83]

Bonsoir à tous!

Dans R3 muni de la base canonique C3(e1,e2,e3), considérons les vecteurs U1(1,3,0) U2(0,4,2) U3(2,-1,0).
Soit B la base de R3 constituée par les vecteurs U1, U2, U3 et f une application linéaire de R3 dans R4 définie par f(U1)=(2,1,0,0)
f(U2)=(1,0,1,1) et f(U3)=(-1,4,0,2).
1) déterminer la matrice M' représentant f lorsque R3 est muni de la base B
2) déterminer la matrice M'' lorsque R3 est muni de la base canonique C3

Pour le 1) pas de difficulté: la Matrice M' est donc construite avec les 3 colonnes formée par f(U1), f(U2), f(U3):

M'(C4;B)= 2 1 -1
1 0 4
0 1 0
0 1 2

Pour le 2) la matrice de passage de la base C3 à la base B est:

P(C3;B)= 1 0 2
3 4 -1
0 2 0

Après, pour trouver M''(C4;C3) je cale!!!!!
Merci pour votre aide.
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[sylvainc2]

Tu dois exprimer les vecteurs de la base canonique e1,e2,e3 en fonction des vecteurs de la base B: U1,U2,U3, ex:
e1=a U1 + b U2 + c U3
etc..

Ensuite tu utilises la linéarité de f:
f(e1)=f(a U1 + b U2 + c U3) = a f(U1) + b f(U2) + c f(U3)

et comme tu connais f(U1), f(U2) et f(U3)...

[sylvainc2]

... et une facon d'exprimer e1,e2 et e3 en fonction de U1,U2,U3 est de calculer P^-1, les coefficients de la 1ère colonne sont ceux de e1 dans la base B, etc...

[Jon83]

Merci pour votre réponse: j'essaye de faire les calculs mais je ne suis pas sûr d'avoir tout compris....
Une question complémentaire: quelle est la signification de la notation matricielle M'(C4;B) et M''(C4;C3)?

[A voir en vidéo sur Futura]