Bonjour,
voici un exercice que je pense avoir réussi à faire mais quelque chose me gêne:
L'exercice: soit f une fonction de I dans R où I est un intervalle ouvert contenant 0. On suppose que f est continue et dérivable en 0 et que
(*).
1) Calculer f(0)
2) Montrer qu'il existe a>0 tel que, pour tout x dans ]-a;a[, on a
3) Montrer que f est continue sur ]-a,a[
4) Montrer que f est dérivable sur ]-a,a[
5) En déduire l'expression de f.
On calcule facilement que f(0)=0. La question 2) est une simple application de la continuité en 0.
Pour la 3) et la 4), il faut utiliser la relation (*) mais je trouve que f est dérivable sur tout I et pas seulement sur ]-a;a[
Pour la 5), en dérivant (*), on obtient une equation differentielle dont c.tan (c constante) est aussi solution avec mêmes conditions initiales , donc on trouve que f=c.tan pour c=f'(0) par Cauchy-Lipschitz.
Mon problème est que je ne vois pas à quoi sert la question 2) (simple application du cours?) mais la formulation des questions suivantes suggère qu'il faut restreindre l'étude de la fonction. Est-ce que les questions sont mal posées ou bien faut-il nécessairement se restreindre à ]-a,a[?
Je peux détailler mes réponses si besoin.
Cordialement
-----