convergence de la série d'un logarithme

[invite89ec769d]

Bonjour, voilà la question posée :

montrer la convergence de la série de terme générale
ln ( 1 - 1/n²) avec n= 2,3,...

Donc tout d'abord je rend l'expression plus lisible :

on ln (1 - 1/n²) = ln( n-1) + ln(n+1) -2 ln(n)

après je majore tout ça par leurs intégrales c'est à dire par

int ( 1/(n-1)) + int ( 1/(n+1)) +int ( 1/n²)

connaissant la propriété suivante
int (1/x^b) converge si b > 1 et divergente si b <= 1

donc la dernière intégrale est convergente et les deux premières divergentes ( je n'en suis pas sur pour les deux premières intégrales )

à partir de la je ne sais pas trop quoi en déduire car en faisant la limite de ces intégrales on a (+00) + (+00) + 0 = ??

Je ne sais pas quoi en déduire,
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[invite6f25a1fe]

Pour montrer la convergence de , pourquoi n'essayes-tu pas de développer l'expression :

Tu auras que ce qui devrait te permettre de conclure en utilisant la comparaison avec une série de Reimann, non ?

[Médiat]

ln (1 - 1/n²) = ln( n-1) + ln(n+1) -2 ln(n)

Et en l'écrivant ln (1 - 1/n²) = [ln(n+1) - ln(n)] - [ln(n) - ln( n-1)], est-ce que vous ne voyez pas une simplification pointer le bout de son nez dans le calcul des sommes partielles ?

[invite89ec769d]

merci beaucoup pour vos deux réponses.

pour scorp :
je viens enfin de comprendre l'utilité des développements limités pour montrer la convergence de séries. Donc oui après j'en déduis facilement que la série est convergente grâce à la série de Riemann.

pour Médiat :

Alors j'ai essayé de suivre votre piste parce que justement j'ai essayé de montrer la convergence en utilisant cette expression.
ln (1 - 1/n²) = ln( n-1) + ln(n+1) -2 ln(n)

après j'ai essayé de simplifié à partir de votre expression.
Je trouve : -ln(2) - 2ln(n) = 1/ln(2n²)

Mais après je ne vois pas trop quoi faire majorer par une série de Riemann et donc après en déduire la convergence de cette série ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Avez-vous calculé l'expression de la somme partielle S_n ?

[invite6f25a1fe]

merci beaucoup pour vos deux réponses.

pour scorp :
je viens enfin de comprendre l'utilité des développements limités pour montrer la convergence de séries. Donc oui après j'en déduis facilement que la série est convergente grâce à la série de Riemann.

pour Médiat :

Alors j'ai essayé de suivre votre piste parce que justement j'ai essayé de montrer la convergence en utilisant cette expression.
ln (1 - 1/n²) = ln( n-1) + ln(n+1) -2 ln(n)

après j'ai essayé de simplifié à partir de votre expression.
Je trouve : -ln(2) - 2ln(n) = 1/ln(2n²)

Mais après je ne vois pas trop quoi faire majorer par une série de Riemann et donc après en déduire la convergence de cette série ?

Dans la solution présentée par Mediat, il ne s'agit plus de majorer et de comparer aux séries de Riemann (contrairement à la méthode où tu développes le ln() ), mais plutôt de calculer la somme partielle Sn pour voir les simplifications.

Allez, on fait comme à "question pour un champion" : un indice en spoiler (pour ceux qui sont à la maison bien entendu^^), histoire de te laisser chercher un peu (tu y es presque, il suffit juste de calculer Sn comme le dit Médiat) :

 Cliquez pour afficher

téléscope

[invite89ec769d]

Alors je chercher je cherche mais je vois pas ce que vous voulez dire par faire la somme partielle.

J'ai Sn= sommme de 1 à n de ln (1-n²) je ne vois pas comment faire, désolé.

PS: alors l'indice téléscope humm

[invite57a1e779]

Et en l'écrivant ln (1 - 1/n²) = [ln(n+1) - ln(n)] - [ln(n) - ln( n-1)]

Si on pose , l'indication prend la forme . La somme partielle est immédiate à calculer sous cette forme.

[invite89ec769d]

merci god's breath, j'avais un peu du mal avec la notion de somme partielle. En fait c'est ce que médiat m'avait conseillé, et j'obtient comme somme partielle

Sn= 1/ln(2n²)). donc maintenant faut que je le majore pour prouver que sn converge, ainsi si sn converge un = ln( 1-1/n²), mais je narrive pas à le majorer, par une somme de riema,,, ça marche pas, les sommes de riemann converge plus vite, sinon je pourrais la majorer par ln(1+n)-ln(n), elle converge, est- ce que c'est bon ?

Sn= 1/ln(2n²) <= ln(n+1)-ln(n)
Donc un converge.

[invite6f25a1fe]

Tu n'as pas besoin de majorer puis de comparer. Cette technique n'est valable que lorsque tu travailles avec le terme générique (le an) de ta série.

Ici, on y va plus directement : la règle est simple : la série converge si la somme partielle converge quand n tend vers l'infini !
La somme partielle est

Le problème, c'est qu'en pratique on ne sait presque jamais calculer cette somme partielle. On ne peut donc pas savoir si elle converge quand n tend vers l'infini( d'où les autres méthodes)

Mais dans ton cas, on sait le faire. Notamment parce qu'il s'agit d'une série téléscopique. Ca veut dire que le terme an peut s'écrire pour tout n :
Ainsi, la somme partielle est calculable facilement, car en sommant, les termes vont s'annuller tour à tour. Il ne restera que :


Or b0 est une constante. Donc ta somme partielle va converger si la suite bn converge. En plus, on connaitra la valeur de la somme (ce qui n'est pas le cas en général : on sait dire si une série converge, mais pas forcément dire vere quelle valeur elle converge).

[invite89ec769d]

ok, merci scorp, je ne connaissais pas les séries téléscopiques, enfin le nom, sinon j'en ai déja rencontrée. Merci pour ton explication, j'ai enfin compris.