extremums de fonction à plusieurs variables

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

j'aurais besoin de votre aide pour bien comprendre comment trouver le minimum (ou max) d'une fonction à plusieurs variables avec contraintes.

1°) Variables independantes: pas de contraintes



si on appel les et


alors on peut dire que le vecteur
doit etre choisi tel qu'il est perpendiculaire à on cherche donc le gradient de f tel qu'il soit nul.


2°) Variables dependantes: contraintes sur les variables

C'est ici que j'ai des problemes, si on a p contraintes j'ai vu sur le net que cela voulais dire que le nombre de variables est de (n-p) je vois intuitivement mais pour en être persuader pouvez vous me donner un exemple?

ensuite pouvez vous m'aider sur la facon d'interpreter cette recherche du minimum en raisonnant comme dans la premiere demarche.

j'ai du mal à ecrire les memes chose que pour le 1°) dans le cas où on a des contraintes, J'espere que vous pourrez m'aider
-----

[Scorp]

Il faut voir ca comme des degrés de libertés.
sans contrainte, tu as n degrés de liberté. Si tu ajoute à ce problème p contrainte (en gros, tu as p relations entre tes degrés de libertés), alors tu te retrouves bien avec n-p degrés de libertés (les autres étant fixés par tes p contraintes).

Si tu cherches à minimiser une fonction f avec une contrainte de type h(x)=0, alors il faut utiliser les multiplicateurs de Lagrange.
On définit

L'avantage, c'est que tu peux maintentant utiliser un problème d'optimisation sans contrainte sur L. En fait, si x0 est une solution de ton problème, alors il existe un tel que la différentielle de L soit nulle au point

Par exemple, lorsque tu vas résoudre ton problème, tu vas caluler le gradient de L pour qu'il soit nul. L'une des équations sera donc :

On retrouve l'équation de ta contriante ce qui montre qu'elle est bien prise en compte dans le problème d'optimisation

[membreComplexe12]

merci beaucoup de ta reponse scorp

Si tu cherches à minimiser une fonction f avec une contrainte de type h(x)=0, alors il faut utiliser les multiplicateurs de Lagrange.
On définit

en faite je connais les multiplicateurs de lagrange mais j'essai de trouver une explications plus géométrique afin de me representer cela.

j'aimerai bien arriver aussi à demontrer que l'on a cela et non pas l'utiliser directement...

j'ai trouvé une piste sur internet [voir piece jointe] mais je ne comprends pas trop la partie avec contraintes

[membreComplexe12]

je me permets un up.... dsl

[A voir en vidéo sur Futura]