Sommes de séries numériques

[invite909642dc]

Bonjour,

Je bloque sur le calcul de ces séries, pourriez-vous me donner des pistes de résolution svp:
1) somme de 0 à +inf de (n²-n)/(n+3)!
2) somme de 0 à +inf de x^(pn)/(pn)!
3) somme de 0 à +inf de ax^n avec a=intégrale de 0 à 1 de t^n*(1-t)^n dt



Merci de votre aide
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[invite029139fa]

Pou le petit deux, ne serait-ce pas ?

[invite909642dc]

Non c'est bien x^(pn)

[invite029139fa]

Oui, mais pour le résultat je voulais dire. Mais ce n'est pas ca Ca ressemble un peu à

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a80e525]

Bonjour,

alors pour la première ramène toi via un changement d'indice à une série de la forme (avec P un polynôme)
Décompose ensuite P dans la base 1,X,X(X-1),...
et tu vas pouvoir calculer chaque terme.

Pour la seconde.
On a p non nul, sinon la série diverge.
Pour k de 0 à p-1, soit (vérifie qu'elles convergent bien)
et .

Pour tout i de 0 à p-1, calcule
.
En sommant toutes ces égalités, tu vas avoir ton résultat.

[invite029139fa]

Je connais le résultat du premier et du troisième s'il t'intéressent tels qu'ils sont (mais j'en doute), et sinon, je pense qu'il faut faire un changement d'indice déjà pour commencer le premier, puis peut-être tout développer, mais bon, j'en suis pas sûr.
Et pour le deuxième au dénominateur, c'est (pn) qui est factoriel ou que le n ?

[invite8a80e525]

Pour la troisième, cherche déjà le rayon de convergence,
puis fait un échange signe somme et intégrale (à justifier bien sûr).

[breukin]

Pour la deuxième, l'idée de Forhaia est bonne, mais mal décrite, à mon avis.
On a :

où vaut 1 si m est multiple de p, 0 sinon.

Maintenant, soit une racine p-ème de l'unité.
On a :

Donc :

(Car .)

On retrouve bien si p=1, et si p=2.

[invite909642dc]

Merci à tous pour votre aide !!!

Pour la première je ne suis pas sûr de mon résultat mais je trouve 7e-19... (Elie520 ?)

[invite8a80e525]

Oui c'est bien ça.