Lien entre fonction bornée et lipschitzienne

[invite2a52e57e]

Bonjour à tous,

Je m’attaque à un exercice sur la continuité (je ne réécris pas les démonstrations que j’ai déjà faite, mais j’explique où je bloque). Il s’agit de

Montrez que f : R -> R continue et périodique est uniformément continue

J’ai donc démontré que f était bornée.
Et donc je cherche une relation entre le fait qu’elle soit bornée et le fait qu’elle serait lipschitzienne.
Car on sait que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue (ce que j’ai redémontré aussi)

Il me manque juste cette petite étape du milieu que je n’arrive pas à saisir :s

Merci d’avance pour votre aide !
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[invitec7c23c92]

Bonjour,

C'est une mauvaise idée, car elle peut être continue, périodique, mais non lipschitzienne.

La bonne stratégie est plutôt la suivante : Montrer qu'elle est uniformément continue sur un segment de longueur égale (ou supérieure? à voir...) à la période. En déduire qu'elle est uniformément continue partout.

[invite2e5fadca]

Je te conseille de procéder ainsi :
- Montre que ta fonction est uniformément continue sur [0,T].
- Déduis en par périodicité qu'elle est uniformément continue sur R

Ton idée ne pouvait pas marcher à cause :
- Trace un demi-cercle de de rayon 1 et centre (1/2,0) dans la partie supérieur du plan.
- Tu prolonge par périodicité à droite et à gauche.

Ce graphe définit une fonction continue et périodique mais non Lipschitzienne, car sa dérivée n'est pas bornée.

[invite2a52e57e]

Merci à vous deux.
En effet GogetaSS5, avec ce contre exemple, c'est flagrant ...

Donc en fait, j'aurais

Soit f :R->R une application.
La fonction f étant continue sur R, elle est donc continue sur un segment [a,b].
Or cette application f :R->R est également périodique, de période T.
Montrons que f est continue sur [0,T].

Soit tel que z<t et



On pose et

D'où

ie

il existe > 0 tel que

Donc il existe tel que

f est donc continue sur [0,T].
Or d'après les théorème de Heine, toute fonction numérique continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.
Donc f est uniformément continue sur [0,T].

Or f est périodique, de période T

Donc f:R->R uniformément continue sur R


Ca pourrait être correct svp ?!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Si ta fonction est continue sur IR, elle l'est sur [0,T], pas besoin de refaire la démo. Ensuite Heine te dit qu'elle est uniformément continue sur [0,T]. Reste à étendre cela à IR...

[invite2a52e57e]

Je suis désolée mais je n'arrive vraiment pas à voir :/ Parce que si j'étends à l'espace entier

Soit et



Soit où



D'où

Mais j'ai un soucis de compacité :/

[invite2e5fadca]

On doit montrer que


Tu as déja


Soit . Alors


On peut supposer .

Soient tels que . Notons et leur image dans [0,T] par une translation de vecteur .

Alors on a


Donc par hypothèse :


Voila je pense que c'est à peu près rédiger correctement pour la fin.

[invite2a52e57e]

Merci GogetaSS5, j'ai (enfin) saisi!

[invitefca46b2c]

Une ptite rmq :
x et y n'ont pas forcement le même vecteur de translation kZ ( Prenons par exemple x = 2T - a et y= 2T + a avec a < T/2 ) , donc on peut rectifier la démo de GogetaSS5 en posant ( x = x' + k1T ; y = y' +k2T , k1 , k2 de Z )