Limite simple

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
comment démontrer que lim((1+a^(1/n))/2)^n quand n tend vers +infinity est égale à sqrt(a) ???
Merci d'avance
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[inviteda3529a9]

J'ai essayé l'écriture exponentielle mais je ne trouve rien (FI)
A tout de suite.

[Tiky]

Tu cherches la limite de

Or lorsque n tend vers l'infini, tend vers 1. Donc le terme à l'intérieur du logarithme tend vers 1.
On pose



Il suffit de déterminer la limite de

Or

Finalement tend vers

Donc tend vers

[inviteda3529a9]

merci beaucoup de votre réponse.
Très claire et précise.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda3529a9]

je viens de créer la fonction suivante:

f:n-> tan(pi/2-1/n)*ln(2*cos²([1+n*pi]/[4*n]))

Cependant, je n'arrive pas à trouver la limite lorsque n tend vers + infinity. (FI) malgrès un changement de variable X=1/n

Merci d'avance et à très bientôt.

[Tiky]

C'est exactement le même type de calcul.

Lorsque n tend vers l'infini, tend vers . Donc tend vers .

Il suffit donc de poser qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

D'où

On a réussi à faire disparaître le logarithme. Il faut déterminer la limite de

Pour le cosinus, on fait un développement limité en à un ordre suffisant. Je pense que l'ordre 1 est suffisant.
Pour la tangente, un développement asymptotique.

[inviteda3529a9]

peut on mélanger développement asymptotique (équivalence) et DL pour le calcul de limite (avec petit o ...)
Merc.

[Tiky]

Oui bien sûr. Ce sont des égalités. La seule question qui se pose est comment se comporte le terme reste.
Au passage un développement limité, c'est un développement asymptotique particulier.

En fait tu peux te contenter du premier terme non-nul du développement de .
Bref, il faut que tu trouves un équivalent de cette suite.

[inviteda3529a9]

Merci pour tout. Effectivement, je trouve bien -1/2.

[inviteda3529a9]

Cependant, je me demande si je dois m'y prendre de la même manière pour la fonction suivante quand n tend vers +infinity:

[cos(pi/6+1/n²)*ln[cos(1/n)]]/[(exp(1/n)-exp(-1/n))*((1/n+1)^5-1)]

on reconnais le sinus hyperbolique sh à travers (exp(1/n)-exp(-1/n)) mais je ne sais pas si c'est exploitable ?

Merci d'avance.

[Tiky]

Oui c'est le même type d'exercice. Le développement limité du sinus hyperbolique en 0, c'est les termes impaires du développement limité de l'exponentielle en 0.

[inviteda3529a9]

j'ai la limite: -sqrt(3)/40