Hyperplans stables par un endomorphisme.

[invitea250c65c]

Bonjour,

Je bute un peu sur l'exercice classique suivant :

Soient E un K espace vectoriel de dimension finie , une base de E, f un endomorphisme de E et A la matrice de f dans .
Notons H l'hyperplan de E d'équation et C la matrice colonne de coefficients .
Alors : H est stable par f si et seulement si C est un vecteur propre de la transposée de A.

J'arrive à trouver une CNS traduisant la stabilité de H par f en terme de matrices (désolé, la flemme de latexer tout ca ), je ne dois pas être très loin du résultat, mais je n'y arrive pas.
Pouvez-vous m'aider?

De plus, je n'ai aucune interprétation géométrique du résultat, même en dimension 2 je n'arrive pas à me représenter la situation. Je navigue à l'aveuglette sans savoir où je vais, ça me dérange beaucoup. Auriez-vous une interprétation géométrique simple de ceci dans le cas des petites dimensions par exemple ?

Merci d'avance.
-----

[invite4793db90]

Salut,

géométriquement, en munissant d'une structure euclidienne via son produit scalaire canonique , C est un vecteur normal à H (et donc ), et la transposée de A est la matrice de f*, endomorphisme adjoint de f (qui par définition vérifie ).

Dès lors, si H est stable par f, , et f*(C) est orthogonal à H donc colinéaire à C.

Je te laisse démontrer l'implication réciproque.

Cordialement.