Intégrale constante de fonction trigonométriques

[silk78]

Bonjour,

L'énoncé suivant est tiré d'un livre d'exercice d'analyse :

Prouver que pour tout entier naturel n, on a :


On voit très facilement I₀=pi/2, j'ai donc d'abord cherché à prouver que la suite (I_n) était constante, en travaillant notamment sur I_n+1 avec des formules de trigonométrie simples mais je n'ai rien trouvé.

J'ai donc été obligé d'utiliser une formule quand même assez moche et qui surtout ne prouve pas la constance de la suite mais calcule directement sa valeur (même si évidemment la constance est une conséquence directe de cette valeur).

J'ai d'abord fait le changement de variable y=2x qui donne :


Puis, on prouve que :


Comme on a pour tout k supérieur ou égal à 1:


On se retrouve avec:


Cette méthode étant assez longue et surtout pas très "intuitive" (je n'aurais jamais pensé à la formule de la somme des cos si je ne l'avais pas vu dans un autre exo un peu avant), j'aimerais savoir comment vous auriez procédé.

Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement,
Silk78
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[Thorin]

Salut,

as-tu essayé de calculer ?

[silk78]

Hmm, j'ai cherché un peu du coté de I_n+I_n+2 mais je trouve pas de méthode simple ...

Par contre, j'ai trouvé un moyen très simple, que j'avais loupé pour une raison obscure :

On a :

Du coup :

Donc :


Donc (I_n) est constante. Comme I₀=pi/2, on a bien pour tout n I_n=pi/2.

[Thorin]

Comme tu avais dit que tu avais déjà calculé , j'ai même pas regardé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Oui pas de problème ... c'est ma faute, je sais même pas comment j'ai pu la louper celle là !

Par contre, la technique que tu avais visiblement trouvé, était-ce de prouver que I_n+I_n+2=2I_n+1 avec la formule de sin p + cos q ?

[Thorin]

oui, c'est ça