bonjour,
j'ai un problème pour l'exercice suivant :
en fait j'ai une suite (un) tel que |un|<1 et tel que la série de terme général un converge.
J'en ai déduit que (un) converge vers 0.
et je dois montrer que le produit de k=0 à n de (1+un) admet une limite quand n tend vers +infini .
je ne vois pas comment partir car au début j'avais pensé à :
un+1<2 donc produit des un<2n+1
mais comme ce produit diverge ça ne m'est d'aucun intérêt !
pouvez-vous m'indiquer une piste svp ?
merci d'avance
Bonjour,
Je pense que tu peux transformer ton produit en somme en utilisant les logarithmes, puis trouver un équivalent évident de ton terme général (puisquetend vers zéro).
If your method does not solve the problem, change the problem.
salut, j'en rajoute un peu :
au voisinage de
cela signifie que
d'accord donc je trouve :
ln (1+uk) équivalent à uk+o(uk)
mais la comparaison je ne peux la faire qu'entre série à termes positifs , or on ne sait pas que un >0 !
comment dois-je alors procéder ??
De mémoire, avec
je suis d'accord avec vos encadrements mais de même, on ne peut comparer les séries que si ils sont à termes positifs non ?
En pratique, si tu as
Cela dit, la remarque de God's Breath m'étonne, la démonstration semble fonctionner...Peut-être le passage à la limite
If your method does not solve the problem, change the problem.
ba l'énoncé nous demande de le montrer donc je suppose que ce doit être vrai !
d'accord pour les équivalents mais ici ni ln(1+uk), ni uk+o(uk) n'est positif ??!?
Tu as par un développement limité :
If your method does not solve the problem, change the problem.
je suis toujours d'accord mais ces équivalents ne sont pas positifs donc je ne peux pas conclure c'est ça que je ne comprend pas depuis le début ??
Et le résultat est effectivement faux Il faudrait une hypothèse plus forte : la suite
dans ce cas il faudrait que je le montre en calculant votre produit des (1+(-1)n+1/sqrt(n)) ( qui est d'ailleurs demandé par la suite donc c'est bizarre comme énoncé, on nous demande de montrer qqch qui est faux pour après nous faire calculer le produit ce qui nous montre que c'est faux???)
je commence à ne plus rien y comprendre !
comment dois-je alors calculer ce produit ??
concernant le contre exemple, je trouve qu'il est convergent :
vu que
Précision de vocabulaire : usuellement, la divergence du produit comprend le cas où la limite est nulle.Envoyé par God's Breath
De mémoire, avec
Mais, sous les hypothèses du premier post, la suite
c'est bon j'ai trouvé comment montrer que le produit converge avec les ln et les équivalences !
mais maintenant, je bloque car on me demande de calculer :
le produit de n=2 à l'infini de :
1+ (-1)n/sqrt(n)
or je ne vois pas comment faire ? ça ne marche pas avec les équivalents car (-1)n+1 n'est pas de signe constant !
merci d'avance
mince en fait ma démo ne marche que si série un est absolument convergente ...
pouvez vous m'aider à montrer que ça marche meme si elle n'est que semi_convergente?
bonsoir,
il faut développer le log au deuxième ordre et remarquer que si sa somme diverge, c'est vers moins l'infini.
j'ai ln(1+un)=un-un2/2+o(un2) mais je ne vois pas comment montrer que cette suite converge ou alors diverge vers -l'infini ??
Les u convergent et les -u² ne peuvent diverger que vers moins l'infini.
ok d'ac et maintenant pour calculer le produit de la suite que j'ai mis précédemment je dis juste que c'est égal à 0 car la série des un² ne converge pas (car série harmonique) ??
Oui.
N'oublies pas de justifier que le terme en o(u²) ne change pas la conclusion.
justement pour o(un²) si un² converge c'est ok mais si un² diverge comment justifier que o(un²) ne change pas le résultat ?
Tu peux remarquer que o(un²) est inférieur à un²/4 pour n assez grand.
Comme un² est positif, tu peux utiliser un équivalent.
