Qu'est-ce que le dt de l'intégrale ?

[inviteeef69825]

...vous savez, tout au bout à droite ?
Merci d'avance !
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[invite79d10163]

Bonjour,
C'est la variable sur laquelle on réalise l'intégration.

[inviteeef69825]

Mais pourquoi ne pas l'avoir noté autrement ? Est-ce pour permettre aux physiciens de manipuler les différentielles n'importe comment ?

[invite986312212]

salut,

cette notation est la survivance d'une ancienne conception de l'intégration, où on prenait la limite de sommes dans lesquelles intervenait un "petit accroissement de la variable" qu'on notait dt. Les physiciens continuent à utiliser ce langage. Maintenant, ce n'est pas rare de voir une expression comme par exemple, où la référence à la variable a disparu, ou encore où désigne une mesure, ou encore où désigne une mesure et le symbole rappelle quelle est la variable dans (au cas où il y ait plusieurs symboles dans l'écriture de ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Salut,

les physiciens ne manipulent pas les différentielles n'importe comment...

[deyni]

C'est aussi pour faire des changement de variable.
Par exemple, la primitive de racine carre de x²+1, sans le dx je n'y arrive pas mais avec, regarde
(x²+1)^(1/2)dx
ch(x)²-sh(x)²=1
Donc ch(x)²=1+sh(x)².

On fait le changement de variable
x=sh(t)
dx=ch(t)

La primitive devient
(ch(t)²)^(1/2)*ch(t).

Facile à calculer.
Peut etre qu'il y a une autre methode.

En phyisque, en les utilise pour les portions très petits

[invite58633955]

Ca vient aussi du fait que la bonne chose a intégrer ce ne sont pas des fonctions mais des formes differentielles. ET donc intégrer f c'est aussi intégrer la forme f(t)dt.
Sur une variété orienté de dimension p, on intègre des p-formes et pour pouvoir intégrer des fonctions, il nous faut une métrique sur la variété.

[invite986312212]

Salut,

les physiciens ne manipulent pas les différentielles n'importe comment...

non ce n'est pas ce que j'ai voulu dire, mais par exemple si tu ouvres un bouquin d'hydraulique (je l'ai fait il n'y a pas si longtemps) on va te parler d'un "petit élément de volume dV" soumis à telle et telle force. C'est un langage imagé qui a sa raison d'être, je ne le dénigre pas. Mais c'est loin du langage utilisé en maths.

[inviteeef69825]

Justement j'ai du mal avec ce genre de phrase : "petit élément de volume dV" : on l'écrit et on dessine tantôt un petit cube, tantôt une forme indescriptible arrondie... et après on somme et, comme par magie, on obtient un résultat cohérent !

Dire que dx est un petit segment le long de l'axe des x ne réspecte pas du tout la définition de la différentielle.


Qui pourrait m'expliquer tout ceci ?

[invite58633955]

Ben la ca vient du fait que tu vois dt comme une mesure sur la droite.
En fait j'avais un papier de Bony, où il expliquait clairement le lien entre les differentes notions vue en physique, le truc c'est que c'est un peu long et que je l'ai que sous forme papier (et encore je sais pas ou je l'ai mis).
Si je le trouvce sur le net, je le linkerai.

[inviteeef69825]

Oui, effectivement. C'est ce qu'on fait en physique, on représente dt par "un tout petit segment". Si ça ne permettait pas de faire décoler des fusées, je rigolerais bien.

[Thorin]

non ce n'est pas ce que j'ai voulu dire

Mais c'est ce que Weiestrass a dit

[Seirios]

Ca vient aussi du fait que la bonne chose a intégrer ce ne sont pas des fonctions mais des formes differentielles. ET donc intégrer f c'est aussi intégrer la forme f(t)dt.

Est-ce que tu pourrais en dire un peu plus sur ce point ? (comment construit-on l'intégrale sur des formes différentielles ?)

[invite58633955]

Est-ce que tu pourrais en dire un peu plus sur ce point ? (comment construit-on l'intégrale sur des formes différentielles ?)

Ben si tu prends une variété differentielle X, orienté, de dimension n.

Maintenant si est une carte locale sur un domaine U, alors l'intégrale d'une n-forme w a support dans U est définie par . Pour une forme quelconque, on utilise une partition de l'unité et on étend le resultat par linéarité. Et cette formule ne depend pas du phi choisit comme montré par la formule du changement de variable.

Vous allez me dire je triche un peu. Oui et non, certes on doit d'abord definir l'intégrale d'une fonction dans R^n... Mais, il s'avere qu'en fait sur R^n, vu le produit scalaire canonique, fonctions et n-formes c'est la meme chose. Sur une variété quelconque, a priori sans métrique (meme si bon on peut toujours en mettre une sur une variété compacte), ce qu'on sait intégrer c'est les p-formes et pas les fonctions (tout simplement et peut etre aurais ju du commencer par la parce que le volume, c'est a dire le determinant dans R^n, c'est une n-forme.

[ichigo01]

C'est aussi pour faire des changement de variable.
Par exemple, la primitive de racine carre de x²+1, sans le dx je n'y arrive pas mais avec, regarde
(x²+1)^(1/2)dx
ch(x)²-sh(x)²=1
Donc ch(x)²=1+sh(x)².

On fait le changement de variable
x=sh(t)
dx=ch(t)

La primitive devient
(ch(t)²)^(1/2)*ch(t).

Facile à calculer.
Peut etre qu'il y a une autre methode.

En phyisque, en les utilise pour les portions très petits

Il est où le dt ? !!

[invite20f23101]

Il est où le dt ? !!

C'est vrai qu'il y a une faute. Une faute grave ! (pour les profs de Maths…)
Il aurait dû écrire

On fait le changement de variable donc
Ainsi on a l'égalité :

[invite58633955]

Bof, justement non sur R (ou R^n) c'est pas tres grave. On note souvent d'ailleurs tout cours sans reference a une variable ou a un dt.

[invite20f23101]

Bof, justement non sur R (ou R^n) c'est pas tres grave.

En Terminale je ne manipulais que des fonctions d'une variable : j'ai donc tenté d'expliquer à ma prof de Maths (Mme Clochard, exceptionnelle) que personne ne pouvait se tromper et donc que ce n'était pas utile de mentionner dt.
Je me suis fait recevoir proprement

[invite06622527]

Bonjour,

dès le début de cette discussion et à plusieurs occasions, on ressent une condescendance (pour ne pas dire un soupçon d'arrogance) du Mathématicien à l'égard du Physicien, pour les notations en usage.

Est-ce pour permettre aux physiciens de manipuler les différentielles n'importe comment ?

Je pense qu'il faut être beaucoup plus modeste et prudent dans ce domaine et se replacer dans le contexte historique de l'évolution de ces questions.
Un article de vulgarisation : "Une querelle des Anciens et des Modernes" par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[invite6f0362b8]

Par définition

une integrale, c est une somme de petites variations (continue).

donc c est normal que tu te fasses recevoir
si tu oublies que c est une somme
si tu oublies que tu a fait la somme, en oubliant les petites variations

C est pour cela que l'on ne peut pas faire d'integrale sur l'ensemble N par exemple( les petites variations impliquant l'ensemble R)

[Thorin]

Est-ce que tu pourrais en dire un peu plus sur ce point ? (comment construit-on l'intégrale sur des formes différentielles ?)

Je suppose que ça ne t'apprendra rien mais je balance quand même :
http://mpsiddl.free.fr/cours.php?id=32&idPartie=116488