Polynôme

[invite7675a4dc]

Bonjour, je suis en première année de DUT, et je bloque sur une question de TD. On me demande d'exprimer sin(5fi) comme polynôme en sin(fi). Je pensais utiliser Euler, mais sans résultats concluants...


Merci.
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[invitea29b3af3]

Pourquoi pas partir de sin(5phi)=sin(3phi+2phi) et d'utiliser la formule de sin(a+b) ?
(j'ai pas essayé, c'est juste une idée)

[invite6bacc516]

Toujours la même méthode lorsqu'il s'agit de faire ce genre de transformations :

est qui est la partie imaginaire de : on développe avec la formule du binôme et on obtient le résultat souhaité.

[invite7675a4dc]

Je n'arrive toujours pas à avoir un polynôme.
J'ai pourtant la reponse qui est:
16 (sin phi)^5 − 20 (sin phi)^3 + 5 sin phi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7675a4dc]

Ha oui, ok, je vais essayer merci beaucoup.
J'avais pas pensé sous cet angle. =)

[invite0e0452ae]

Je suis également étudiant en 1ère année de DUT et la suite de cette question consiste à montrer que sin(PI/5) et sin(2PI/5) sont solution de l'équation 16X^4-20X²+5

Faut-il simplement vérifier à la calculatrice ou y a-t-il une méthode particulière car la dernière question est "En déduire la valeur exacte de sin(PI/5) ?

Merci, Gael.

[invite9617f995]

Bonjour,

Tu as sin(5a)=P(sin(a)) (avec P le polynôme P(x)=16x⁵-20x³+5x=x(16x⁴-20x²+5))

Donc P(sin(pi/5))=???

Silk

[invite0e0452ae]

Bonjour, euh le polynôme n'est pas la réponse à l'expression de sin(5a) comme polynôme en sin(a) .. Ou peut-être que je ne vois pas ce que tu veux dire ...

[invite9617f995]

Hmm ben pourtant si, c'est ce polynôme là :
sin(5a)=16sin⁵(a)-20sin³(a)+5sin(a)

Edit: je viens de penser que c'est peut-être que c'est parce qu'à chaque fois c'est une puissance de moins (P(x)/x quoi). Si C'est cas, ben si tu prouve que P(sin(pi/5))=0, comme sin(pi/5) est non nul, tu peux simplifier et tu retrouves la réponse

[invite0e0452ae]

Oui désolé j'avais mal lu .. Mais je ne vois pas en quoi ça m'avance pour determiner la valeur exactement de sin(pi/5)
Dans le corrigé la réponse est : √((5-√5)/8)

[invite9617f995]

Ben, si tu notes t=sin(pi/5), tu as 16t⁴-20t²+5=0.
Donc ben t² est solution de l'équation 16x²-20x+5=0, que tu sais résoudre.
Bon par contre après l'équation du début à quatre solutions, y aura sin(pi/5), -sin(pi/5), sin(2pi/5) et -sin(2pi/5). Or tu cherches sin(pi/5), donc déjà tu sélectionnes les solutions positives et après tu cherche celle qu'est plus petite que l'autre car sin(pi/5)<sin(2pi/5).