Dimension d'une base

[invite0605171e]

Bonjours tout le monde,

C'est ma première fois sur se forum Je publie ceci car mon professeur n'est pas disponible et j'ai un examen qui approche (dans deux jours) et parmi les exercices de mon livre, il y a le numero suivant :

V = {(x,y,z)R³ : x > 0 ,y > 0, z > 0}

Addition: (x,y,z)+(u,v,w) = (xu,yv,zw)

Multiplication par un scalaire: r(x,y,z) = (x^r , y^r , z^r)

Supposons faite la démonstration que V est un espace vectoriel sur R. Trouvez une base de V et démontrez (tous les points sont pour la preuve) que c'est bien une base. En déduire la dimension de V.

J'ai essayer avec des gens de ma classes mais on arrive a rien. Par ou commencer? C'est dans les numeros les plus difficile de ce chapitre donc si quelqu'un serai le résoudre se serai sympa Merci d'avance tout le monde, en espérant que je suis dans la bonne section !

Cordialement,
Mathieu
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[invite0605171e]

Rebonjours, personne serait capable de m'aider? Je sais que c'est un problème assé compliquer ^_^

[invite14e03d2a]

Salut!

Une idée: (sauf erreur de ma part), tu dois pouvoir montrer que l'application f(x,y,z)=(exp(x),exp(y),exp(z) ) est un isomorphisme.

Autre idée: ton espace vectoriel est décrit par 3 réels x,y, et z donc intuitivement, il est de dimension 3. Après, on peut prendre 3 vecteurs un peu au hasatd et tester s'ils forment une base.

Cordialement

[invite88212cc7]

Salut,

Ton espace vectoriel est composé des vecteurs respectant les propriétés suivantes :
* Etre dans
* Toutes les composantes de ton vecteur doivent être strictement positive.

La définition de l'addition et (surtout) de la multiplication par un scalaire est surtout utile pour démontrer que ton truc est bien un EV.

Il est assez évident que ton espace vectoriel est de dimension 3.

Pour démontrer cela, donne toi un ensemble de trois vecteurs et montre que cet ensemble est une partie libre, et une partie génératrice.


Si je me trompe pas {(2,1,1) ; (1,2,1) ; (1,1,2)} devrait pouvoir être candidat pour être une base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0605171e]

Merci beaucoup Le Vince, en partant j'ai beaucoup de difficulté avec cette matière mais sa ma éclaircie et ca ne devrai pas trop être dure de démontrer cela