complexes forme exponentielle

[invitef5cded1f]

Bonjour,
voici l'exercice qui me pose problème:
1. f=e^i2pi/5
Démontrer f⁰ + f¹ + f³ + f⁴=0
2. En déduire cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = 0
Pour la première question, pas de problème, mais je ne m'en sors pas avec la deuxième
-----

[invite57a1e779]

Je pense que les deux égalités proposées sont fausses en l'état actuel.
On doit pouvoir les relier en calculant la partie réelle dans l'égalité de la première question.

[invitef5cded1f]

effectivement, j'ai mal recopié l'énoncé!
il s'agit donc de:
f⁰ + f¹ + f² + f³ + f⁴=0
cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
grâce à vos indications, j'arrive bien au résultat souhaité:
d'après la première question,
Re (f^0 + f^1 + f^2 + f^3 + f^4) =0
Re(f^0) + Re(f^1) + Re(f^2) + Re(f^3) + Re(f^4) = 0
donc Re(f^1) + Re(f^2) + Re(f^3) + Re(f^4) = -1
...
et le tour est joué!
merci beaucoup

[invitef5cded1f]

Encore une question!

1) Démontrer que:
cos(2II/5)*cos(4II/5)+sin(2II/5)*sin(4II/5)=cos(2II/5)
cos(2II/5)*cos(4II/5)-sin(2II/5)*sin(4II/5)=cos(4II/5)

--> cos(2II/5)*cos(4II/5)+sin(2II/5)*sin(4II/5)=cos(2II/5)
en utilisant la formule cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb, j'obtient le bon résultat.
--> Mais je n'arrive pas à démontrer la deuxième équation (faut-il utiliser une autre formule trigonométrique?)

2) Puis on doit en déduire que:
cos(2II/5)*cos(4II/5)=-1/4
à nouveau je ne sais comment m'y prendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Pour la seconde équation tu dois reconnaître à gauche cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) = cos(a+b), donc cos (6 pi/5) qui est égal à cos (2 pi - 6 pi/5) = cos(4 pi/5)

[invitef5cded1f]

merci!
cos(4II/5)= cos(2II/5 - 6II/5)= cos(6II/5)=cos(2II/5 + 4II/5), d'où:
cos(2II/5)*cos(4II/5)-sin(2II/5)*sin(4II/5)=cos(4II/5)