arithmetique

[inviteb8f38dc5]

Bonjour, quelqu'un pourrait-t-il m'expliquer ce qu'est concretement un ideal principal , je n'arrive pas a saisir la notion, avec un ou 2 exemples ce serait sympa.

Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

En considérant un anneau commutatif A (s'il n'est pas commutatif, il faut distinguer les idéaux à gauche et les idéaux à droite, mais l'idée est la même), un idéal I est principal s'il existe tel que I=aA, c'est-à-dire que I est l'ensemble des multiples de a, donc on comprend l'utilité de cette notion en arithmétique.

Les anneaux dans lesquels tous les idéaux sont principaux sont dits principaux, comme ou (en fait, à partir du moment où l'on peut définir une division sur un anneau (on dit que l'anneau est euclidien), cet anneau est principal). En arithmétique, on travaille souvent dans des anneaux euclidiens, et donc principaux, et le fait que les idéaux soient principaux permet de définir simplement les notions de pgcd, de ppcm, d'introduire le théorème de Bézout, d'élément irréductible, etc.