Le monoïde (s(E), o) est un groupe

[invite57c166fd]

bonjour a tous,

le monoïde (s(E), o) est un groupe qui n'est pas commutatif si E a au moins 3 elements.

je peux pas le comprendre quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi au moins 3 elements ?

cordialement
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[Médiat]

Qu'appelez-vous (s(E), o) ?

[invite57c166fd]

c'est un groupe

[Médiat]

Vous ne savez-pas ce que représentent les notations que vous utilisez ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57c166fd]

je ne comprends pas ce que vous voudriez indiquer


S(E) est une application E^E

[invitec7c23c92]

Bonjour,

Non, S(E) n'est pas une application de E dans E, soyez précis.
S(E) est un ensemble d'applications de E dans E, plus exactement l'ensemble de toutes les bijections de E dans E.

Pour répondre à la question :

- Supposons que E est vide. Que contient S(E) ?

- Supposons que E a 1 élément, c'est à dire E = { a }. Pouvez vous donner la liste de tous les éléments de S(E) ?

- Supposons que E a 2 éléments, c'est à dire E = { a, b }. Pouvez vous donner la liste de tous les éléments de S(E) ?

- Maintenant, si E a au moins trois éléments a, b et c, est ce qu'on ne peut pas construire deux bijections s et t de E telles que sot soit différent de tos ?

[invite57c166fd]

ô j'ai mal compris la définition, merci beaucoup et plus

- Supposons que E est vide. Que contient S(E) ?

si E est vide, il n'y a pas d'elements dans S(E), c'est correct?

[Amanuensis]

Dans quel cadre posez-vous toutes ces questions (sur des notions comme bijection, injection, groupe, etc.) ? Si c'est dans un cadre scolaire, à quel niveau, pour quel diplôme ?

Ces informations permettraient, il me semble, de mieux cibler des réponses.

[invitec7c23c92]

En fait non. C'est un point de logique parfois un peu délicat : il existe une bijection de l'ensemble vide dans lui même. Il n'y en a qu'une seule. Dans ce cas (S(E),o) est un groupe à un seul élément. Et un groupe à un élément est commutatif.

Qu'en est-il des autres cas ?

[invite57c166fd]

Dans quel cadre posez-vous toutes ces questions (sur des notions comme bijection, injection, groupe, etc.) ? Si c'est dans un cadre scolaire, à quel niveau, pour quel diplôme ?

je suis dans la première année de MPSI, en fait je ne sais pas s'il convient de poser toutes mes questions ici car je me sens souvent que mes questions apparaissent très basses, désolé

merci telchar, je comprends mieux maintenant. mais

Et un groupe à un élément est commutatif.

je ne peux pas imaginer pourquoi c'est commutatif ?

il existe une bijection de l'ensemble vide dans lui même

c'est par définition ou on peut déduire ça ?

[invitec7c23c92]

je ne peux pas imaginer pourquoi c'est commutatif ?

Si on a un groupe G avec un seul élément, qu'on appelle par exemple e, alors forcément on a e*e=e.

Donc tous les éléments du groupe (c'est à dire un seul) commutent bien entre eux.

c'est par définition ou on peut déduire ça ?

On peut le déduire de la définition d'une application.

Je ne sais pas comment on t'a présenté les choses ; pour moi une application c'est un triplet (E,,F) où E est l'ensemble de départ, F l'ensemble d'arrivée, et un ensemble de couples (x,y), x élément de E et y élément de F.

s'appelle le graphe de l'application et vérifie : pour tout x de E, il existe un unique y de F tel que (x,y) appartient à .

Avec cette définition, (,,) est l'unique application de l'ensemble vide dans lui-même.

[invite57c166fd]

Si on a un groupe G avec un seul élément, qu'on appelle par exemple e, alors forcément on a e*e=e.

c'est l'élément neutre? je me souviens!!

Avec cette définition, (Ø,Ø,Ø) est l'unique application de l'ensemble vide dans lui-même.

mais je crois que ce n'est pas une application parce que l'ensemble d'arrivée est vide