Polynômes

[invite89b95c9c]

Bonjour,
voilà je fais un exercice du chapitre des polynômes en prépa PCSI,
On définit le polynôme P par : avec n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

D'abord j'ai montré que 1 était une racine simple de P en montrant que P(1) =0 mais que P'(1) différent de 0. Donc que l'ordre de multiplicité de la racine était 1.
Ensuite je dois démontrer que P n'a pas de racine multiple, mais je ne vois pas comment traiter cette question ?

Merci d'avance pour votre aide
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[invite9617f995]

Bonjour,

Je ne sais pas si c'est ce qu'on attend de toi et il y a peut-être plus simple mais je te propose déjà une idée :
Pour X différent de 1, sous quelle forme peux-tu écrire 1+X+..+X^n-1 ?
Ensuite tu réécris P(X) avec ce résultat et tu ramène l'étude des racines de P différentes de 1 à l'étude de celles d'un autre polynôme Q(X). Il te reste ensuite à prouver que ce polynôme Q n'admet pas d'autres racines multiples que 1, ce qui se fait assez simplement.

Bonne chance,
Silk

[invite89b95c9c]

alors j'ai reconnu la somme des termes d'une suite géométrique

J'ai alors pour X différent de 1
je considère Q(X) le numérateur mais à part tester la racine 1 voir que c'est bon et à part dire "ça se voit que ça marche que pour 1" je vois pas comment montrer que c'est la seule...

comment faire ?

[Médiat]

Si ce polynome (le numérateur) a des racines multiples, elles sont communes aves sa dérivée ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite89b95c9c]

Mais si je dérive le polynôme (numérateur) 0 est racine alors ?..
Je n'ai pas très bien compris désolé...

[invite9617f995]

Hmm, si je ne me trompe pas, Q'(x) ne possède que deux racines distinctes. Or Médiat t'a rappelé que si Q possède une racine multiple x, alors x est aussi racine de Q', ce qui ne te laisse pas énormément de choix.

[invite89b95c9c]

Ah
Donc Q admet 1 comme racine (bon on a démontré qu'elle était simple), cherchons les racines de Q' et on en trouve deux: 0 et 1. Or les racines sont multiples si elles sont communes à Q et Q' .Ici il n'y a que 1 qui est commune à Q et Q', or on a démontré que 1 était racine simple.
Ccl: P n'admet pas de racine multiple.

Si c'est ça je vous remercie de votre aide!