Inégalité de chernoff

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

Quelqu´un pourrait-il m´expliquer de façon claire la démonstration de l´inégalité de chernoff? Ou peut-être m´indiquer simplement un sîte? Dans mon corrigé de TD, il y a une explication mais je n´y comprend pas grandchose

merci d´avance

Christophe
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
peux-tu donner l'énoncer complet de l'inégalité ainsi que le contexte? Ça permet à ceux comme moi qui ont du mal avec les noms des théorèmes (et moins avec leur contenu, mais je ne sais pas si je fais partie de cette catégorie).

[Garf]

Soit une variable aléatoire réelle, et un réel. Je note, pour tout réel positif :



A la base, c'est simplement une inégalité de Markov. Simplement, on fait une petite transformation avant d'utiliser l'inégalité. C'est le même principe que lorsque l'on démontre l'inégalité de Bienaymé - Tchebychev, mais en utilisant une fonction exponentielle au lieu d'un carré - ce qui demande des hypothèses de moment plus fortes sur les variables aléatoires, mais donne aussi une borne asymptotiquement plus forte à l'arrivée.



Bon, cette borne est sympathique, en ce qu'elle est valable pour tout positif. Naturellement, si l'on veut la meilleure borne exponentielle, on va optimiser le paramètre .



Maintenant, je note :



J'obtiens alors, simplement :