racine de x^4+1

invite625ca7d1 · 08/03/2011, 17h29

salu à toute salu à tous
j'ai une question
le prof nous a dit qu' afin de trouver les racines dans C de (x^4+1) on peut savoir une seule racine (a) et déduire les autres par la parité de F et par le conjugué; il nous a dit que il faut s'assurer que les racines sont distinctent deux à deux???????????
comment prouver cela ???????????????
merci d'avance

invite9617f995 · 08/03/2011, 17h44

Bonjour,

Quelles sont les trois autres racines que tu as trouvé ?

Pour chaque couple de racines, quelles conditions ça impliquerait si elles étaient égales (pour cette partie là, il peut être utile de revenir à la forme x+iy des racines) ?

Ces conditions peuvent-elles être vraies pour ce polynôme ? Qu'en conclues-tu ?

Silk

invitebe0cd90e · 08/03/2011, 21h32

Salut,

L'equation x^4+1=0 peut s'ecrire X^4=-1. Tu es sur de ne pas savoir résoudre ca dans C ? Meme s'il est de degré 4 ce polynome est tres simple.

SI vraiment tu ne vois pas, fait le changement de variable Y=X^2.

invite89cc01e3 · 09/03/2011, 08h00

Bonjour
Ou alors on reconnaît les racines 4-ième de l'unité ...

Ca évite un changement de variable ou autre :P

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebe0cd90e · 09/03/2011, 08h59

Envoyé par No Remedy

Ou alors on reconnaît les racines 4-ième de l'unité ...

Pas tout a fait non plus...

invite986312212 · 09/03/2011, 09h33

on peut aussi factoriser x^4+1 = x^4 - i^2 = (x^2+i)(x^2-i)

inviteaf1870ed · 09/03/2011, 09h35

Enfin on peut aussi factoriser de cette façon :
X^4+1=(X²+1)²-2X²=(X²+1-rac(2)X)(X²+1+rac(2)X)

et résoudre dans C chacune des équations du second degré.

invite89cc01e3 · 09/03/2011, 10h40

Envoyé par jobherzt

Pas tout a fait non plus...

on a $\text{[math]}$
les racines sont de module 1 donc il existe z tel que : $\text{[math]}$

soit $\text{[math]}$
d'ou $\text{[math]}$ k entier relatif.
soit $\text{[math]}$

ce qui permet de trouver les 4 solutions.
Ce n'est pas exactement les racines de l'unité, mais la méthode en est tellement inspiré que je me suis peut être mal exprimé (mais je pense que tu avais compris ce que je voulais dire ! )

**breukin** · 09/03/2011, 11h00

Ah, on reconnait les racines quatrièmes de moins l'unité.

invite625ca7d1 · 10/03/2011, 20h01

MAIS NON moi je parle de "a" RACINE on déduit donc
-a, a" barre",-a "barre"
moi je parle d'une façon generale

**breukin** · 10/03/2011, 21h07

Oui, si $\text{[math]}$ est une racine, par parité de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , en est une (et comme $\text{[math]}$ est évidemment non nul, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont distinctes), puis, par réalité des coefficients de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ en est aussi une (et comme $\text{[math]}$ est évidemment non réel, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont distinctes). Puis comme $\text{[math]}$ est évidemment non imaginaire pur, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont distinctes. Etc.

invite625ca7d1 · 11/03/2011, 09h25

Envoyé par breukin

Oui, si $\text{[math]}$ est une racine, par parité de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , en est une (et comme $\text{[math]}$ est évidemment non nul, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont distinctes), puis, par réalité des coefficients de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ en est aussi une (et comme $\text{[math]}$ est évidemment non réel, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont distinctes). Puis comme $\text{[math]}$ est évidemment non imaginaire pur, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont distinctes. Etc.

meric donc si je comprend bien il faut demonter ces deux conditions au meme temps:
Im(a)---> n'est pas nulle
Re(a)----> n'est pas nulle
n'est ce pas????????????????

racine de x^4+1

racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

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Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

Re : racine de x^4+1

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