bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant:
soit E un R-ev de dimension 3 et f dans L(E)\{0} tel que f²=0
Montrer qu'il existe une base de E tel que la matrice de f soit:
0 0 0
1 0 0
0 0 0
j'ai trouvé que le rang de la matrice est 1
donc Imf=Rv1 avec v1 dans E
du coup dim kerf=2 et c'est donc un hyperplan
mais après comment chercher la base? suis je mal parti?
merci de votre aide
Bonsoir,
Tu as déjà un vecteur v1 qui appartient à Im(f). Il fera partie de ta base. Deux indices pour trouver les autres :
1) Que signifie le fait que v1 appartient à Im(f) ?
2) Que vaut f(v1) ? Qu'en conclues-tu ?
J'ai essayé d'être le plus vague possible pour te laisser un peu de recherche. Si ça ne te parle pas, explique ce que tu as fais et où tu es bloqué.
Silk
1) v1 dans Imf s'il existe x dans E tel que v1=f(x)
2)f(v1)=f²(x)=0 par hypothèse
v1 appartient à Kerf f inter Imf
je pensais que f(v1) pouvait faire un deuxième vecteur de la base mais ce n'est pas le cas puisqu'il est nul?
En effet f(v1) ne convient pas.
Par contre, si tu observe la forme de la matrice, tu cherche des vecteurs e1, e2 et e3 qui vérifient f(e1)=e2, f(e2)=0 et f(e3)=0. Ne peux-tu pas trouver déjà deux de ces vecteurs ?
en faite B={v1,x,u} u dans kerf
En fait pour être en accord avec la forme de la matrice, il faudrait plutôt {x,v1,u}.
Et n'oublies pas de prouver que la famille est une base
oui je dois montrer que la famille est libre.
est ce là la méthode générale pour trouver la base s'une matrice c'est à regarder comme tu as fais f(e1)=e2, f(e2)=0 et f(e3)=0
j'aurai encore une question:
comment fait on pour montrer que la famille {e1,e2,e3} est libre
e1 dans E e2 dans Imf e3 dans kerf
j'ai essayé comme ca:
soit a1,a2,a3 dans R
a1e1+a2e2+a3e3=0
j'ai composé par f cela donne
a1f(e1)+a2f(e2)+a3f(e3)=0
a1e2+a2f(e2)=0
je réapplique f
a1f(e2)=0
mais le problème c'est que f(e2) est nul d'après la matrice donc je n'ai pas forcément a1=0
donc a1e2=0...Envoyé par 369
mais ne faudrait il pas montrer e2 non nul car je peux prendre e2=e1=0 et f(0)=0
puisque la je veux montrer que ma famille est une base
