Valeurs propres d'un produit de matrices définies positives

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais montrer que les valeurs propres du produit AB, où A et B sont deux matrices symétriques définies positives, sont réelles et strictement postives.

On m'a donné comme indication d'utiliser la matrice (sachant que la notion de racine carrée est bien définie sur des matrices symétriques définies positives si on impose à d'être symétrique définie positive). J'ai effectivement trouvé que et AB ont le même spectre et que est symétrique, donc les valeurs propres de AB sont réelles. De plus, le déterminant de AB est non nul donc AB n'admet 0 comme valeur propre.

Mais il me reste à prouver que les valeurs propres en question sont positives.

Quelqu'un aurait-il une indication à me donner ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite57a1e779]

Les deux matrices symétriques et sont congruentes, donc représentent la même forme quadratique dans des bases différentes...

[Seirios]

C'était pourtant assez visible...Merci pour votre réponse aussi rapide