Trace d'un endomorphisme

[Shadowlugia]

Bonjour,
J'ai un petit exercice de maths sur lequel je bloque, j'apprécierais d'obtenir une indication à ce propos

On dispose d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel E de dimension finie. Cet endomorphisme vérifie f³ = 2f².
Montrer que Tr(f) est un entier pair.

La condition vérifiée par f nous montre immédiatement que le polynôme P = X²(X-2) est un polynôme annulateur de f. Ainsi le spectre de f est inclus dans l'ensemble {0, 2}

Je pensais ensuite utiliser la formule reliant à la trace aux valeurs propres, à savoir que si Sp(f) = {V₁, ... , V_n} et si on note m_k la multiplicité de la k-ième valeur propre, alors :



Cependant, il faut que f soit trigonalisable pour appliquer cette formule, mais je ne sais pas comment le montrer. Pouvez-vous m'aider ?
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[Tiky]

J'ai dit une bêtise.

[Tiky]

E est un -espace vectoriel ?

[invite81055034]

Je me trompe peut être mais le polynôme annulateur de f est bien p(X) = X^2(X+2) donc, deux choix, soit f = 2Id (et dans ce cas, on a Trf = 4) ou alors ton endomorphisme est nilpotent d'ordre 2 (et dans ce cas, il est trigonalisable).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Bonjour,

@ GwdTiger : on pourrait aussi imaginer que 0 et 2 soient toutes deux valeurs propres

Sinon ici, tu peux tout simplement trigonaliser ta matrice car f possède un polynôme annulateur scindé.

D'ailleurs, dans des cas un peu plus compliqués (avec par exemple des valeurs propres complexes pour une matrice réelle), l'égalité "tr(A)=somme des valeurs propres" reste vraie si tu te places dans la clôture algébrique de ton corps de départ. Il peut parfois être utile de faire un petit passage par un autre corps avant de revenir à celui de départ.

Silk

[Shadowlugia]

silk78, le théorème que tu invoques énonce-t-il qu'un endomorphisme admettant un polynôme annulateur scindé est trigonalisable ? Parce que je n'ai pas ce théorème dans mon cours, en réalité.

[invite9617f995]

Oui effectivement, il y a un théorème qui dit qu'une matrice à coefficient dans un corps K est trigonalisable si et seulement si elle admet un polynôme scindé dans K[X].

[Shadowlugia]

D'accord, je vois. En fait, dans notre cours, on a seulement le théorème sur le polynôme caractéristique scindé pour qu'un endomorphisme soit trigonalisable. Il est vrai qu'on a bien plus de théorèmes sur la diagonalisation...

[invite9617f995]

En fait, le polynôme annulateur est scindé équivaut au fait que ce polynôme ait ses racines dans K. Or les valeurs propres sont racines de tout polynôme annulateur donc les valeurs propres sont dans K. Il en découle que le polynôme caractéristique est lui-même scindé, d'où la diagonalisation.

Silk

PS : sinon la démonstration du théorème avec le polynôme caractéristique et le lemme des noyaux doit sans doute s'appliquer à un polynôme annulateur quelconque.

[Tiky]

Tu n'as pas répondu à ma question. Sais-tu dans quel corps tu travailles ?

[Shadowlugia]

L'énoncé ne le précise pas. Est-ce que cela change quelque chose ?

[Tiky]

GwdTiger était dans le vrai sauf qu'il a oublié plusieurs cas.


On sait que le polynôme annulateur minimal de f divise P. Il est donc des formes suivantes :
0, X, X^2, X-2, X(X-2) et X^2(X-2).

Dans tous les cas, l'endomorphisme est trigonalisable dans . On utilise le fait que les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal annulateur.