Dimension sur le complété

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir si l'on connaît des résultats sur la dimension du complété d'un corps en tant que -espace vectoriel ?
(Et si c'est le cas, un référence serait la bienvenue.)

Merci d'avance,
Seirios
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[Seirios]

J'ai oublié de préciser : on peut considérer K muni d'une valeur absolue.

[invite4793db90]

Salut,

considérant que le complété est le quotient d'un ensemble de suites (de Cauchy), je dirais à première vue que le complété a le cardinal de cet ensemble de suites (donc le cardinal du continu si K est fini ou dénombrable, et sinon le même cardinal que K). Sans trop avoir regarder les détails, je crois que cette approche devrait aboutir.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

considérant que le complété est le quotient d'un ensemble de suites (de Cauchy), je dirais à première vue que le complété a le cardinal de cet ensemble de suites (donc le cardinal du continu si K est fini ou dénombrable

Il me semble que ce raisonnement ne marche pas avec la valeur absolue triviale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

en effet, il faudrait traiter à part les cas où les suites de Cauchy sont stationnaires à partir d'un certain rang.

La question serait de savoir s'il existe d'autres exemples de valeur absolue assez tordue pour que les suites de Cauchy soient en bijection avec les éléments de K et/ou que l'ensemble des suites de Cauchy convergeant vers zéro soient "anormalement" gros ou petit.

Je n'ai pas trop d'idée à ce sujet, ayant en tête la classification des valeurs absolues sur Q qui est plutôt régulière (théorème d'Ostrowski).

Cordialement.

[Seirios]

Il me semble que ce raisonnement ne marche pas avec la valeur absolue triviale.

Dans le cas où la valeur absolue est discrète, le corps est nécessairement complet, donc , c'est-à-dire que ; ce cas ne pose pas de problème, on peut donc supposer la valeur absolue non discrète.

considérant que le complété est le quotient d'un ensemble de suites (de Cauchy), je dirais à première vue que le complété a le cardinal de cet ensemble de suites (donc le cardinal du continu si K est fini ou dénombrable, et sinon le même cardinal que K). Sans trop avoir regarder les détails, je crois que cette approche devrait aboutir.

Mais la connaissance du cardinal ne permet que d'avoir une borne supérieure à la dimension, non ?

Dans tous les cas, donc .

Si K est fini, la valeur absolue est nécessairement discrète, donc on écarte ce cas ; si K a au moins la puissance du continue, alors ; sinon, .

Pour faire le lien entre le cardinal et la dimension, je ne connais que la relation : , qui donne ici ou .

D'ailleurs c'est assez logique que dans le cas général (ie sans tenir compte des propriétés du corps), on ne puisse pas mettre de borne inférieure intéressante à la dimension : si K est complet la dimension sera 1, et dans le cas où (pour la valeur absolue usuelle) on trouve une dimension infinie. (Qu'est-ce qui se passe d'ailleurs pour la norme p ? Il me semble que , non ?)

[Seirios]

Un petit up ?

[invite4ef352d8]

Salut !

la dimension de R ou Qp sur Q est card(R).

il me semble t'avoir expliqué il y a quelque temps comment construire un corps dont la completion soit de dimension 2 sur lui même (prendre l'image de R par un isomorphisme entre C et Cp)

en utilisant un procédé similaire, on doit pouvoir obtenir n'importe quel dimension entre 1 et card(R) (quoique, le th d'Artin va peut-etre poser problème pour les cardinaux fini autre que 1 et 2 ... )