Aide pour un DM de Term S (Suites..)

[invitefd9c99c4]

Bonjour a tous, j'espere que vous comprendrez ce que j'ai ecris ..
On considere une suite (u_n ) définie par : u₀ =4, pour tout entier naturel n, u_n+1 = 3*(racine de u_n) +4

1° Claculer u₁ , u₂. => Ca, facile
2° Prouvez par recurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 inf ou égal a u_n inf ou égal a 16.

J'ai déja un probleme car j'imagine que si l'on prend u₁₀₀₀, on aura forcement u_n > 16 ???

Pour prouver ar recurrence, dois-je prouver que mon u_n que j'appelerai P(k), soit toujours supérieur a zero, et que P(k+1) soit toujours superieur a zero ?

Puis ensuite, que je demontre que P(k) et P(k+1) Soit inférieur a 16 ?

Merci de m'aider !!
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[invite9822beb9]

C'est bien exact... Suppose U_n 16, alors que peux tu dire de ? et par conséquent de U_n+1 ?

[inviteb85b19ce]

j'imagine que si l'on prend u₁₀₀₀, on aura forcement u_n > 16 ???

Il faut se méfier de ce genre de raisonnement intuitif (et encore). La suite est certes croissante mais aussi majorée, ce qu'on demande de démontrer.

Et ce que tu nommes P(k) n'est pas un nombre, c'est la propriété au rang k>0 : "0 ≤ u_k ≤ 16", que l'on suppose vraie pour essayer de prouver que P est aussi vraie au rang suivant.

[invite0982d54d]

Comme dit Odie :

Il faut se méfier de ce genre de raisonnement intuitif

Car tu vois bien que même U₁₀₀₁ 16

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd9c99c4]

Je ne comprend pas comment tu passes de cette ligne a la suivante.

Pour l'autre partie du raisonnement, il faudrait faire :

U_n sup ou egal a 0
(Rcaine de U_n) sup ou egal a 0
3*(Rcaine de U_n) sup ou egal a 0
3*(Rcaine de U_n) + 4 sup ou égal a 4

Mais est ce que quand je fais cela, ça prouve que U_n est toujours superieur ou egal a 0 ?

Dsl, je ne sais pas comment faire apparaitre les racine et les signe sup ou égal...

[invite0982d54d]

U_n+1 = 3*(racine de U_n) +4

donc si

On remplace par U_n+1

Mais est ce que quand je fais cela, ça prouve que Un est toujours superieur ou egal a 0 ?

La tu as prouvé que U_n+1 4
Donc, quelque soit n, U_n 4, par conséquent U_n 0

[invitefd9c99c4]

Je viens d'avoir un gros doute en rédigant mon exercice : u_n sup ou egal a 0 car racine de u_n est toujours positif.

Est ce comme ça que je dois formuler ma phrase ???

[invite0982d54d]

Je viens d'avoir un gros doute en rédigant mon exercice : u_n sup ou egal a 0 car racine de u_n est toujours positif.

Est ce comme ça que je dois formuler ma phrase ???

Non c'est pas ça. Tu trouve par récurrence que 0 <= U_n <= 16

[invitefd9c99c4]

Et ce que tu nommes P(k) n'est pas un nombre, c'est la propriété au rang k>0 : "0 ≤ u_k ≤ 16", que l'on suppose vraie pour essayer de prouver que P est aussi vraie au rang suivant.

Il faut donc que j'introduit mon raisonnement par : " Soit P(k) la propriété " 0 ≤ u_k ≤ 16 " pour tout k > 0

Ensuite je demontre que P(1) est vraie

Puis je suppose que P(k) est vraie

Et je demonter que P(k+1) est vraie

Et je conclue par "Donc pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ u_n ≤ 16

J'ai raison ?

PS : Merci a tous ceux qui m'ont fait avancé dans mon problème !

[invite0982d54d]

Il faut donc que j'introduit mon raisonnement par : " Soit P(k) la propriété " 0 ≤ u_k ≤ 16 " pour tout k > 0

Ensuite je demontre que P(1) est vraie

Puis je suppose que P(k) est vraie

Et je demonter que P(k+1) est vraie

Et je conclue par "Donc pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ u_n ≤ 16

J'ai raison ?

PS : Merci a tous ceux qui m'ont fait avancé dans mon problème !

Oui c'est tout à fait exact.