Tangente & Dérivée

[benj65]

Bonjour,

après quelques heures de recherches, je suis bloqué concernant cet exercice.



Concernant la question a), voici ce que j'ai fais :

On sait que l'équation d'une droite linéaire est de la forme y = ax + b. D'après le graphique nous avons 2 points A et C. Mais d'après les données nous ne connaissons que A (0;1).

D'après les données, la droite (AC) est tangente à la courbe f(x). Donc nous avons une formule pour déterminer l'équation de la tangente : y = f(a) + f'(a)(x-a). Nous l'appliquons ici :

y = f(0) + f'(0) (x-0) = 0*x + b + c*e⁰ + x*f'(0) = b+c +x*f'(0). Nous sommes sous une forme y = a'x + b' où a = f'(0) et b' = b+c.


f(x) est dérivable en 0 d'où f'(x) = a + c*e^x

Donc f'(0) = a + c.


Est-ce vous pourriez me dire si cela est correcte ?

Merci d'avance
-----

[invitec950a525]

Ton DM en pièce jointe n'est pas encore validé par l'admin, peux-tu écrire la question ?

[benj65]

La courbe ci-dessus représente la fonction f définie par f(x) = ax + b + c*e^x.

A-Etude graphique :

La droite (AC) est tangente en A; la courbe passe par les points A(0, 1) ; D(1, 4-e).
En utilisant ces informations :

a) Déterminer une équation (AC) puis en déduire f'(0).
b) Montrer que (a,b,c) est solution du système {a+c = 1 ; b+c = 1 ; a+b+c*e = 4-e}
c) Déterminer alors a,b,c et en déduire l'expression exacte de f(x).

Voilà, merci.

[benj65]

On voit bien que la droite passe aussi par C(-1;0) ce qui permet d'écrire complétement l'équation de cette droite.

Les points sont (0,1) et (-1,0). La pente est donc

(1-0)/ (0-(-1))=1

L'équation est donc de la forme y=x+p. Comme pour x=0, on a y=1, l'équation est y=x+1

Pourriez-vous me dire si cela est bon ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

On voit bien que la droite passe aussi par C(-1;0)

Et pourquoi on aurait pas C(-1,0000000489415618;0,000000000 5555148)? Tu n'as pas besoin du dessin pour répondre. Ce que tu avais fait dans ton premier post est correct (même si je trouve la rédaction un peu lourde).

Pour la suite, d'après l'éoncé, tu sais que A et D sont la courbe représentative de la fonction f, donc leurs coordonnées vérifient y=f(x). De même C est situé sur la tangente de f en A (dont tu as calculé l'équation), donc ses coordonnées vérifient l'équation de cette tangente. Cela doit te donner les 3 équations du (b). Reste plus qu'à le résoudre.

Cordialement

PS: ce n'est pas vraiment des mathématiques du supérieur, ça.

[Tryss]

Et pourquoi on aurait pas C(-1,0000000489415618;0,000000000 5555148)? Tu n'as pas besoin du dessin pour répondre. Ce que tu avais fait dans ton premier post est correct (même si je trouve la rédaction un peu lourde).

Malheureusement, le recours au dessin et à l'interprétation est nécessaire : si on sait seulement que la courbe passe par A et D, on ne peut pas déterminer sans ambiguïté l'équation de la courbe. Et pour déterminer l'équation de la tangente, il faut connaitre les coordonnées du point C

Dans l'exercice, l'équation de la courbe est censée être f(x) = 2x+2-e^x, en considérant que la courbe passe par le point C de coordonnées (-1,0)

Maintenant si le point C a pour coordonnées C(-1,0000000489415618;0,000000000 5555148), l'équation de la courbe devient alors (approximativement) :

f(x) = 1.99999988159255*x +1.99999993108962 - 0.99999993108962*e^x

[taladris]

Au temps pour moi. Désolé.