Démonstration : fonction continue sur un compact

[invitef517fbc7]

Bonjours ,

soit f: R^d -> R^p une application continue .Montrer que l'image d'un ensemble compact est compact .

je cherche une démonstration de ça . Merci d'avance pour vos réponse .

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[invite986312212]

si K est le compact en question, tu considères un recouvrement ouvert de f(K). Tu le transportes par $f^{-1}$, c'est un recouvrement ouvert de K, etc.

[invitea07f6506]

Ca dépend quand même de la définition d'"ensemble compact" dont il dispose. En particulier, s'il a vu la définition via les recouvrements par des ouverts, c'est qu'il a dû faire de la topologie générale, et dans ce cas je vois mal pourquoi l'exercice porterait sur des fonctions à valeurs dans des espaces vectoriels (au lieu d'un contexte plus général).

Je suppose que tu as dû voir une propriété du type :

"Soit un compact de . Pour toute suite de points de , il existe une sous-suite extraite de qui converge vers un point de ."

Voire même :

"Une partie de est compacte si et seulement si, pour toute suite de points de , il existe une sous-suite extraite de qui converge vers un point de ."

On peut se débrouiller pour résoudre cet exercice grâce à ces propriétés. Si on dispose de la seconde, c'est plus simple qu'avec la première. L'idée reste la même dans les deux cas : on prends un compact non vide de . On considère un suite de points de . On choisit une suite de points de telle que pour tout . On utilise la compacité de pour extraire une sous-suite ayant de bonnes propriétés, puis la continuité de pour conclure.