Questions sur la fonction zeta et autres sommes intéressantes

[invitea8f2ee99]

Bonjour en fait, je suis étudiant en terminale et je voulais savoir si l' on connaissait la valeur explicite de la Somme de (1/n)^n de n = 1 jusqu'à l'infini et également si un mathématicien a conjecturé une valeur explicite pour zeta(3). Merci d' avance pour vos réponses.


PS: si quelqu'un a des informations sur la valeur de la dérivée de zeta prise en 2 je suis preneur

Désolé si je me suis trompé de catégories mais je savais vraiment pas où le mettre.

[invitea8f2ee99]

Personne ne peut m' aider?

[invitea07f6506]

Déjà, un peu de patience : pas la peine de relancer un sujet après moins d'une heure. C'est assez impoli.

Pour répondre à ta première question : de mémoire, on n'a pas de valeur explicite pour . C'est juste un nombre. Cependant, on dispose malgré tout de la curieuse identité suivante (attribuée à Bernoulli, mais je n'ai pas trouvé le document d'origine) :



Maintenant, ça n'a pas franchement de rapport avec la fonction Zeta de Riemann . Je n'y connais pas grand chose, mais encore de mémoire, je ne crois pas qu'on ait montré que les nombres , , etc. soient autre chose que, eh bien, des nombres (voir par exemple Wikipédia). A priori il y a peu de chances qu'il existe une formule close exprimant ces nombres à partir de constantes plus communes. On sait déjà que est irrationnel, ce qui est plus que l'on en sait sur d'autres constantes très communes (au hasard, la constante d'Euler-Mascheroni). Comme d'habitude : on sait que "la plupart" des nombres sont transcendants (et même on bien d'autres propriétés amusantes), mais en général il est difficile de montrer qu'un nombre donné l'est (hors cas triviaux).

[invitea07f6506]

Je pense que ma réponse appelle un commentaire supplémentaire. On dispose de nos jours d'algorithmes assez performants pour déterminer si un nombre donné, dont on connaît une bonne approximation, peut être exprimé à partir de nombres connus. Ainsi, imaginons que j'écrive , et que j'arrive à connaître quelques dizaines ou centaines de décimales (ce qui est très facile au vu de la définition de la fonction ). Dans ce cas, on peut déterminer si ces premières décimales coïncident avec les premières décimales d'une formule "pas trop compliquée" mettant en jeu des constantes usuelles. Par exemple, on peut conjecturer que au vu des trois premières décimales que (sauf que ça ne marche pas si on prend plus de décimales, et le est de la triche). Plus on connaît de décimales, plus on peut trouver de formules compliquées.

Bref. S'il y avait une formule close pas trop moche permettant d'exprimer à partir de constantes "usuelles", on aurait probablement pu la trouver à l'aide de tels algorithmes. Vu qu'il n'y a pas de conjecture à ce sujet (à ma connaissance), il est probable qu'une telle formule n'existe pas.

[A voir en vidéo sur Futura]