dérivée

[Seirios]

Salut à tous,
ça fait quelques temps que j'ai remarqué que l'on utilise beaucoup les dérivées en physique, mais je n'arrive pas à trouvé de document qui traitent des dérivées de façon assez clair, donc j'aimerai avoir quelques explications sur ce qu'est une dérivée et comment la calculer.
Merci d'avance
Phys2
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[invite88ef51f0]

Salut,
Le mieux serait de trouver un livre de cours de 1èreS je pense.

[invite8241b23e]

Oula ! C'est un chapitre aussi essentiel que difficile à ingurgiter au départ...

Je suis d'accord avec coincoin, commence donc par un livre de cours, et pose des questions par le suite...

[inviteaa8f7e46]

salut
Je pense pas qu'un livre de 1ere s l'aide beaucoup...Dans des livres de mathsn rien ne peut etre expliqué simplement.
Si tu cest ce qu'est une fonction, et ce qu'est le coefficient directeur d'une fonction, alors on va dire que la dérivée d'une fonction, c'est la représentation des coefficients directeurs de la fonction. MAis ca ,ne doit pas te dire grand chose je pense, parce que tu n'as pas du voir de fonctions tres compliquées pour l'instant
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8241b23e]

Ouais mais même, pour la MANIPULATION des dérivées ce que tu dis est largement insiffisant. C'est un bon début, mais niveau calcul, c'est encore trop limité...

En fait, si je ne dis pas de bêtise, Phys2 est un physicien en herbe, plutôt avancé pour son age mais qui est bloqué par l'aspect mathématique de la physique. Autant pour la physique, je trouve, on peut progresser seul sur les nouvelles notions, autant en maths, seul, c'est extrêmement difficile...

[Seirios]

Merci pour vos réponses, j'attendrai un peu avant de pouvoir travailler les dérivées, mais comme ça m'aurai permis d'avancer un peu en physique, j'aurai voulu bruler les étapes, mais tant pis ce sera pour dans quelque mois.
Encore merci

[invited927d23c]

Salut Phys2,

Au début les dérivées c'est pas évident à comprendre (surtout seul, moi j'ai réussi mais il a fallu longtemps).

Est-ce que tu as déjà vu le calcul de limites? Car il y a une approche "assez simple" (par raport au autres) de ce coté.

Si tu cherche des documents sur les dérivées, voila en un introduction (malheureusement pas évident à comprendre sans explication) :

Derivee1

Mon explication de la dérivée en quelques mots :

La dérivée d'une fonction f(x) est une fonction f' de x qui donne le coefficient directeur de la droite tangent à la courbe au point x (ce qui devient très visible avec un passage à la limite).
Ou si tu veux la dérivée de f donne la pente de la courbe f au point x.
Et pour allez plus vite (sans devoir faire le passage à la limite à chaque fois) il existe des tableaux de dérivations ou on donne la dérivée des fonctions les plus utilisées.

Si tu es intéressé je veux bien te faire une petite explication (que je te scanne et t'envois), si tu as déjà vu le calcul de limites.

[invitef591ed4b]

Grosso modo, la dérivée d'une fonction en un point indique comment la fonction varie autour de ce point. Si la valeur de la dérivée est positive, la fonction est croissante. Si elle est nulle, la fonction est constante et si elle est négative, la fonction est décroissante.

Un exemple de fonction simple en mécanique, c'est la position x(t) d'un objet en fonction du temps t. Considérons le cas d'un objet qui se déplace sur une droite graduée.

La dérivée de la position en un instant t₀ indique comment la position varie autour de cet instant. Si la valeur de la dérivée est positive, alors la position de l'objet croît sur la droite (l'objet avance). Si elle est nulle, alors la position est constante (l'objet est immobile) et si elle est négative, la position décroît (l'objet recule).

De plus, si valeur de la dérivée en un point t₁ est positive, mais inférieure à celle en un point t₂, ça signifie qu'autour de l'instant t₂, l'objet avance plus vite qu'autour de l'instant t₁.

Tu auras donc remarqué que la dérivée de la position x(t) d'un objet, ce n'est rien d'autre que sa vitesse v(t). De même, la dérivée de la vitesse, c'est l'accélération.

Moralité : la dérivée d'une fonction donne la variation de cette fonction.

[invitef591ed4b]

Et, en s'appuyant sur le fait que la dérivée de la position est la vitesse, on peut aborder la 1ère définition de dérivée que l'on voit au lycée.

La vitesse moyenne d'un objet entre deux points, c'est la distance qui sépare ces points divisée par le temps mis pour la parcourir :

où .

Mais cette vitesse moyenne est peu précise : elle n'est qu'une moyenne prise entre deux instants et .

Maintenant, plus on rapproche de (c.-à-d. plus on diminue ), plus la vitesse moyenne devient précise, car mesurée entre deux instants très brefs. À la limite pour , on obtient la vitesse instantanée à l'instant :

Cette vitesse instantanée, c'est la dérivée. Ainsi, la dérivée d'une fonction f(x) est définie par :

[invite3bc71fae]

Tu apprendras en mathématique qu'il existe des fonctions dérivables en tout point de l'ensemble de définition, d'autres qui sont dérivables partout sauf en un ou plusieurs points de l'ensemble de définition et enfin certaines (très rarement employées en physique) qui ne sont dérivables en aucun point de l'ensemble de définition.

[moijdikssékool]

c'est le synonyme mathématique de 'de... découle'
les dérivées servent en physiques afin d'étudier des mouvements comme décrit sephi (du déplacements découle la vitesse, dont découle l'accélération), ou des variations (température, champs magnétique)
à l'inverse de la dérivée, il existe ce que l'on appelle la primitive, synonyme de 'découle de':
l'accélération découle de la vitesse qui elle même découle du déplacement

les dérivées se calculent suivant des tables très connues sur les fonctions de bases (x, x², racine, cosinus, sinus, exponetielle et d'autres fonctions que l'on rencontre pour décrire des phénomènes physiques) qui se composent entre elles (cosinus de la racine de l'exponentiel de x²)

on s'est apercu que par exemple un objet qui tombe d'une hauteur h se trouve au bout d'un temps t à la hauteur h-10*t²/2, que sa vitesse est -10*t et ce quelque soit l'objet gros ou petit (du moins si l'on met de côté les frottements qui ont tendance à faire la différence entre une plume et une balle qui tombent)
Comme la vitesse augmentait en fonction du temps et linéairement (c'est à dire que l'on multiplie le temps par la constante 10), on a alors dit que l'objet tombait avec une accélération contante que l'on a dit égal à -10 (en fait -9.81, l'accélération de la pesanteur g)
On a alors dit 'du déplacements découle la vitesse, dont découle l'accélération' ou 'du déplacements dérive la vitesse, dont dérive l'accélération' (le mot dérive est aussi usité dans le langage courant), ou encore 'la dérivée de h-g*t²/2 est -g*t dont la dérivée est -g'

on a alors définit la dérivée de x² par 2*x (en effet la vitesse ne dépend pas de la hauteur h) et la dérivée de x par 1. Et dans la foulée, on a définit la dérivée de x^n (x à la puissance n) de la même manière que x² avec 2*x, soit n*x^(n-1). Et on s'est aperçu que toutes les fonctions de bases (et donc leur composition, à part quelques cas particuliers parcequ'il ne faut jamais diviser par zéro) s'écrivent en fonction de leur dérivée n-ième (on dérive n fois, tout comme l'accélération est la 2ième dérivée du déplacement) et de ces puissance de x, mais ça c'est pour bien plus tard