transformation orthogonale

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour cette exo:
R est dans L(R²)
R est une isométrie ssi R est bijective et R^(-1)=R* (R* est l'adjointe de R) et R* vérifie <R(u),v>=<u,R*(u)>
déjà j'aurai une question: ne serait ce pas plutôt u à la place de v dans la relation <R(u),v>=<u,R*(u)>?

pour l'implication vers la droite j'ai réussi
pour l'implication vers la gauche j'ai montré que ker R={0} et donc R est bijective
Mais comment montrer que R^(-1)=R* ainsi que la relation que R* doit vérifier

merci de votre aide
-----

[invite57a1e779]

ne serait ce pas plutôt u à la place de v dans la relation <R(u),v>=<u,R*(u)>?

La relation de définition de R* est : pour tout couple (u,v) d'éléments de R², <R(u),v>=<u,R*(v)>.

pour l'implication vers la gauche j'ai montré que ker R={0} et donc R est bijective
Mais comment montrer que R^(-1)=R* ainsi que la relation que R* doit vérifier

Quelle est la définition d'une isométrie?
Par ailleurs, on ne retrouve dans le produit final, en mathématiques comme en cuisine, que ce que l'on a mis pendant la préparation.
Il est donc judicieux de forcer l'apparition de R^-1, par exemple en écrivant que: <R(u),v>=<R(u),R[R^-1(v)]>.

[invite371ae0af]

merci , je vais essayer ca

[invite371ae0af]

j'ai essayé de chercher R^(-1) mais sans succés
j'utilise la fais que R est une isométrie: pour tout u dans R², R(u)=u
<R(u),v>=<R(u),R[R-1(v)]> ssi v cos(R(u),v)=R[R-1(v)] cos (R(u),R[R-1(v)])
mais après je ne vois pas comment continuer, déjà suis je bien parti?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si R est une isométrie, quelle est la valeur de <R(u),R(w)> ?

[invite371ae0af]

une isométrie conserve le produit scalaire:<R(u),R(w)>=<u,w>

[invite57a1e779]

Tu peux donc donner la valeur de <R(u),R[R^-1(v)]>

[invite371ae0af]

oui ,
<R(u),R[R-1(v)]> =<u,R^-1(v)>
mais je ne vois toujours pas comment montré que R^(-1)=R* puisque je n'utilise jamais R*?
est ce qu'on aurait pu supposer que R^-(1)=R* si pour tout couple (u,v) d'éléments de R2, <R(u),v>=<u,R*(v)>.?

[invite57a1e779]

Quelle est la définition de R* ?

[invite371ae0af]

<R(u),v>=<u,R*(v)>

mais ne faut il pas également prouver la définition de R*? parce que là si je comprend bien on montre R^(-1)=R* mais cela suppose qu'on a déjà prouver sa définition

[invite57a1e779]

Tu n'as pas de cours sur l'adjoint d'un endomorphisme ?

[invite371ae0af]

non je n'ai pas fais ce cours

[invite57a1e779]

Dans ton énoncé, R* est défini par : pour tout couple (u,v), <R(u),v>=<u,R*(v)>.

Lorsque R est une isométrie: pour tout couple (u,v), <R(u),v>=<u,R^-1(v)>.

Il te faut donc prouver que ces deux égalités fournissent le résultat demandé : R*=R^-1.

[invite371ae0af]

une fois arrivé là:
<R(u),v>=<u,R^-1(v)> est ce que je peux conclure que R^-1=R* par identification?

[invite57a1e779]

Il faut effectivement conclure par identification, mais il faut le justifier :
– ou bien en utilisant un théorème de ton cours ;
– ou bien en construisant une preuve dans le cadre de cet exercice.