Inexistance d'une relation d'ordre compatible sur C avec + et *

[invite2ec0a62b]

Bonsoir,
l'énoncé d'un exo est le suivant
on considère l'anneau commutatif (C,+,*) (* est la loi multiplie) et R une relation d'ordre totale sur C
On dit que R est compatible avec + et * ssi :
-pour tout x,y,z appartenant à C, xRy=>(x+z)R(y+z)
-pour tout x,y,z appartenant à C (xRy et 0Ry)=>xzRyz
Montrer qu'il n'existe aucune relation d'ordre total sur C compatible avec + et *
Je suppose qu'on doit procéder par l'absurde ... mais je vois par ou commencer. Pouvez vous me donner un indice svp ?
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[invite3240c37d]

Observons d'abord qu'il faudrait . Ensuite :

(contradiction)
Je te laisse voir le cas ...

[Seirios]

Bonjour,

La question est en fait de savoir si peut être muni d'une structure de corps ordonné. Une manière simple de trouver un contre-exemple est de vérifier si -1 peut s'écrire comme une somme de carrés (dans un corps ordonné, les carrés sont positifs ; donc 1 est positif, d'où -1 négatif, mais s'il s'écrit comme somme de carrés il doit être positif : contradiction). En fait, c'est un résultat tout à fait général : un corps est ordonnable ssi -1 ne s'écrit pas comme une somme de carrés. Ici, -1=i².

[invite2ec0a62b]

Rebonjour,
par absurde on suppose qu'il existe une relation d'ordre totale sur C compaticle avec + et *, on la note R
puisque R est un ordre totale , alors pour tout x,y de C xRy ou yRx donc pour tout t appartenant à C , ou
Pourquoi vous supprimer la deuxième possibilité ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec0a62b]

Ah !
c bon je vois clair maintenant , je vous remercie Phys2 et MMu

[invite2ec0a62b]

en fait, R est d'ordre totale dc 0Rt ou tR0 => 0Rt² et 0Rt² ( en utilisant la compatibilité de R avec *)