inégalité

[invite5fa594be]

bjr

une question toute bête.

Justifier le fait que ln(1 + x) < x pour tout x > 0.

je pose :

( ln(1+x) )' = 1/(1+x)
( x )' = 1

comme ∀x>0 1/(1+x) < 1 ⟹ ( ln(1+x) )' < ( x )' ⟹ ln(1+x) < x

je me demandais si il y avait un autre moyen sans utiliser les dérivées car je vois pas pour sin x < x ?

merci
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pourquoi ne veux-tu pas utiliser les dérivées ? C'est pourtant bien pratique, non ?

Pour faire un peu plus soigneusement, je te propose d'étudier la fonction f(x)=ln(1+x)-x pour la première.

Pour la seconde, l'étude de g(x)=sin(x)-x me paraît plutôt simple également...

Duke.

[Seirios]

Bonjour,

D'autres possibilités :

En utilisant le théorème des accroissements finis, on trouve que pour tout x>0, il existe tel que , ce qui permet de conclure.

Ou bien, en utilisant la concavité du logarithme, on peut le comparer à l'une de ses tangentes.

[invite6cf1de63]

Justifier le fait que ln(1 + x) < x pour tout x > 0.

je pose :

( ln(1+x) )' = 1/(1+x)
( x )' = 1

comme ∀x>0 1/(1+x) < 1 ⟹ ( ln(1+x) )' < ( x )' ⟹ ln(1+x) < x

Bonjour,
le raisonnement suivi est incomplet, il dit que la fonction de gauche croit moins vite que la fonction de droite, mais il faut tenir compte du point de départ pour en déduire la comparaison finale.

Voici le même raisonnement modifié qui fait apparaître le problème :
( ln(1+x) )' = 1/(1+x)
( x-1000 )' = 1
comme ∀x>0 1/(1+x) < 1 ⟹ ( ln(1+x) )' < ( x-1000 )' ⟹ ln(1+x) < x-1000 (ce qui est faux)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Ou sinon, tu passes à l'exponentielle et tu utilises la définition avec les séries...

[invite705d0470]

Ahah ^^
Il me semble que la dernière méthode est plutôt brutale, non ?
Bon, je ne sais pas du tout ce qu'elle implique, si ce n'est des notions qui ne sont pas a ma portée pour l'instant, mais pourquoi aller aussi loin ? Comme dirait mon prof, c'est un peu utiliser un tank pour écraser une mouche

Personnellement, repasser a la définition de ln (primitive de ...) et conclure par croissance de l'intégrale m'a l'air tout a fait faisable, meme pour montrer que l'inégalité s'étend jusqu'à -1 (exclu bien sur).
Et jolie méthode Seirios Classique mais sympathique.

[invited5b2473a]

Ahah ^^
Il me semble que la dernière méthode est plutôt brutale, non ?
Bon, je ne sais pas du tout ce qu'elle implique, si ce n'est des notions qui ne sont pas a ma portée pour l'instant, mais pourquoi aller aussi loin ? Comme dirait mon prof, c'est un peu utiliser un tank pour écraser une mouche

car x> 0
et par stricte croissance de la fonction ln (vue comme réciproque de l'exponentielle), tu en déduis le résultat immédiatement.

[Seirios]

Ahah ^^
Il me semble que la dernière méthode est plutôt brutale, non ?
Bon, je ne sais pas du tout ce qu'elle implique, si ce n'est des notions qui ne sont pas a ma portée pour l'instant, mais pourquoi aller aussi loin ? Comme dirait mon prof, c'est un peu utiliser un tank pour écraser une mouche

Pas tellement en fait. La définition la plus "naturelle" de l'exponentielle est justement sous forme de série, donc il est tout aussi naturel d'utiliser cette expression.

[invited5b2473a]

Pas tellement en fait. La définition la plus "naturelle" de l'exponentielle est justement sous forme de série, donc il est tout aussi naturel d'utiliser cette expression.

Oui, c'est aussi pour ça que j'ai proposé cette méthode. Mais j'ignore son niveau d'études.