convergence d'une somme

[invite1adebb8b]

Bonjour.

je voudrais prouver une convergence d'une somme: Soit f une application continue et décroissante sur [0,1] et pour tout n different de 0 :



J'ai montrer que : pour tout n different de 0 et pour tous k appartenant a [0,n-1]:






j'en suis arriver a sa :




Est-ce suffisant pour dire qu'elle converge ?
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[invite57a1e779]

Non : de , tu ne peux pas conclure que la suite de terme général converge.

Pour conclure, il faut encadrer pour utiliser le théorème dit «des gendarmes».

Il faut additionner les encadrements d'intégrales et obtenir une relation du type :



où est une somme qui ressemble beaucoup à et qu'il est facile d'exprimer en fonction de .

[invite1adebb8b]

D'accord, merci pour la reponse. Mais il faut encadrer Sn des deux cotés alors . Et le deuxieme coté est plutot difficile a trouver ...

[invite57a1e779]

On commence par encadrer l'intégrale, on obtient une somme et on exprime en fonction de .

Dans un second temps, ces calculs permettront d'encadrer .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1adebb8b]

je trouve :




Est-ce juste ?

[invite57a1e779]

Pas vraiment, ton résultat ne pourrait être vrai que dans le cas .

Qu'as tu trouvé pour ?

[invite1adebb8b]

Pour , j'ai:

[invite57a1e779]

Et le f(0) ? et le facteur 1/n ? ...

[invite1adebb8b]

Oulala oui

C'est la fatigue :

donc

[invite57a1e779]

C'est bien cela ; et le théorème dit «des gendarmes» permet de conclure.

[invite1adebb8b]

Merci beaucoup

[invite51d17075]

pardon, mais un doute nocturne

n'est ce pas plutôt:
somme(0;n-1)(f(k/n))<int(0,1)(f(t)dt et pas somme (1;n) (car f décroissante )

( ce qui ne change rien à la demo , juste une constante f(0)-f(1) qui intervient.)

[invite51d17075]

pardon, suis dislexique moi quand il fait nuit
confondu <= avec >= !!!!