espace vectoriel + suites fibonacci

[inviteb2b4bc7a]

On note K le corps R ou C. L'ensemble de toutes les suites à valeurs dans K est noté
KN. C'est un K-espace vectoriel pour les opérations d'addition et multiplication par un
élément de K usuelles (dans cet exercice, toutes les suites sont définies à partir de n = 0).
Ce problème est consacré à l'étude des suites à récurrence linéaire d'ordre 2, c'est-à-dire
les suites (un)n2N de réels ou complexes vérifiant la relation de récurrence
8n 2 N, un+2 = a un+1 + b un (1)
où a et b sont deux éléments de K fixés. On note E l'ensemble des suites vérifiant cette
relation (1).
1. Quelles sont ces suites si b = 0 ? Montrer qu'alors E est un K-espace vectoriel de
dimension 2 (on prendra bien garde que la relation (1) n'impose rien à u0).

2. Structure de E
2.1 Montrer que E est un K-espace vectoriel.
2.2 On considère l'application
' : E −−−! K2
(un)n2N 7−−−! (u0, u1).
Montrer que ' est un isomorphisme d'espaces vectoriels. En déduire la dimension de E.
3. Polynôme caractéristique. On considère le polynôme
P = X2 − aX − b et on pose
= a2 + 4b.
3.1 Montrer que si r est une racine de P, alors la suite géométrique de premier terme
1 et de raison r appartient à E.
3.2 Montrer que si r est racine double de P, alors la suite (n rn)n2N appartient à E.
4.
4.1 On suppose que K = C. À l'aide des considérations de la question précédente,
trouver une base de E.
4.2 On suppose cette fois que K = R. En distinguant les cas
> 0,
= 0 et
< 0,
déterminer une base de E dans chaque cas.
5. La suite de Fibonacci (Fn) est définie par
8>><
>>:
F0 = 0
F1 = 1
8n 2 N, Fn+2 = Fn + Fn+1.
Exprimer Fn en fonction de n. Montrer que c'est une suite croissante dont le terme général
équivaut, en +1, à celui d'une suite géométrique dont on précisera la raison.
et merci d'avance
-----

[inviteea028771]

Quelles sont les questions et points précis qui te posent problème?

[inviteb2b4bc7a]

si b#0 et 2.1

[invited5b2473a]

si b#0 et 2.1

Pour répondre 2.1, tu montres que c'est un sev.
Pour b différent de 0, en gros, il faut que tu répondes à toutes les questions de 2 à 4. Donc, comme le dit Tryss, quelle(s) question(s) te pose(nt) problème? L'idée des questions 2-4 est de montrer que l'ensemble des suites vérifiant (1) est un sev de dimension 2. Reste alors à chercher deux bases, ce que te propose la question 3 en les cherchant sous la forme de suites géométriques. La question 5 est une simple application.

[A voir en vidéo sur Futura]